1次不等式について

不等式の性質

不等式の性質

不等号と不等式

2つの式または式が等しい関係にあることを示す記号が等号(=)である。これに対して、一方が他方より大きい、一方が他方以下であるというような、等しくない関係を示すのが不等号である。
不等号の種類

不等号 使用例 意味
$ < $ $a$ $<$ $b$ $aはbより小さい$
$>$ $a+b>0$ $a+bの和は0より大きい$
$≦$ $x≦3$ $xは3以下$
$≧$ $a≧b$ $aはb以上$

不等号で示された大小の関係式を不等式という。
なお、不等式で使われる文字は、特に断りがなければ実数である。

不等号≦は、<と=のどちらか一方が成り立っていれば正しい。
例えば、$x≦5$は、$x<5$でもよいし、$x=5$でもよい。 したがって、$3≦5$は$3<5$が成り立っているから正しい。 $5≦5$も$5=5$が成り立っているから正しい。

不等式の性質

$A \lt B$のとき、

  1. $A+C \lt B+C$
  2. $A-C \lt B-C$
  3. $C \gt 0$ならば$AC \lt BC,\frac{A}{C} \lt \frac{B}{C}$
  4. $C \lt 0$ならば$AC \gt BC,\frac{A}{C} \gt \frac{B}{C}$

性質④は、不等式では、両辺に負の数を掛けたり、両辺を負の数で割ったりすると、両辺の大小関係が入れ替わる(不等号の向きが変わる)ことを示している。
$A \lt B\longrightarrow -A \gt -B$

1次不等式の解き方

$ax \gt b,ax \leqq b$($a,b$は定数、ただし$a≠0$)などの形にできる不等式を、$x$の$1$次不等式といい、不等式に当てはまるxの値の範囲を、その不等式の解という。
そして、$1$次不等式は、不等式の性質を使って、次のように解く(不等式の全ての解を求めることができる。

不等式 $-2x-5 \lt 9$
移項して $-2x \lt 9+5$ $-5$を移項すると符号が変わる。
すなわち $-2x \lt 14$
両辺を$-2$で割ると $x \gt -7$ 両辺を$-2$で割ると不等号の向きが変わる。

不等式の性質

不等式の性質の注意点としては、負の数の乗除で不等号の向きが変わる。
加法や減法では変わらない。

例題

$a \lt b$のとき、次の$2$数の大小関係を不等式で表せ。
$(1)a+2,b+2$
$(2)a-3,b-3$
$(3)4a,4b$
$(4)\frac{a}{5},\frac{b}{5}$
$(5)-6a,-6b$
$(6)\frac{a}{-7},\frac{b}{-7}$

例題解答

$(1)a+2 \lt b+2$
$(2)a-3 \lt b-3$
$(3)4a \lt 4b$
$(4)\frac{a}{5} \lt \frac{b}{5}$
$(5)-6a \gt -6b$
$(6)\frac{a}{-7} \gt \frac{b}{-7}$

問題

$a \lt b$のとき、次の▢に不等号>または<を入れ、正しい不等式にせよ。
$(1)a+3▢b+3$
$(2)0.3a▢0.3b$
$(3)-\frac{2}{5}a▢-\frac{2}{5}b$
$(4)2a-3▢2b-3$
$(5)6-a▢6-b$
$(6)\frac{a+5}{3}▢\frac{b+5}{3}$

問題解答

$(1)a+3 \lt b+3$
$(2)0.3a \lt 0.3b$
$(3)-\frac{2}{5}a \gt -\frac{2}{5}b$
$(4)2a-3 \lt 2b-3$
$(5)6-a \gt 6-b$
$(6)\frac{a+5}{3} \lt \frac{b+5}{3}$

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