累乗と指数法則

累乗と指数法則について

累乗と指数法則について

累乗と指数法則について

$a$を$n$個掛け合わせたものを$a$の$n$乗といい、$a^n$と表す。
$a^1=a、a^2=a×a、a^3=a×a×a$
$a^1、a^2、a^3$、・・・・・をまとめて$a$の累乗という。
$a$の右上に小さく書いてある$1、2、3$、・・・・・を指数という

累乗については、次のように積が計算される。

$①a^2×a^3=(a×a)×(a×a×a)=a^5\\
\longrightarrow a^2×a^3=a^{2+3}=a^5$

$②(a^2)^3=a^2×a^2×a^2=(a×a)×(a×a)×(a×a)=a^6\\
\longrightarrow (a^2)^3=a^{2×3}=a^6$

$③(ab)^2=(a×b)×(a×b)=(a×a)×(b×b)=a^2b^2\\
\longrightarrow (ab)^2=a^2b^2$

$m、n$は自然数
※自然数とは正の整数のこと

指数法則 法則
$a^m×a^n=a^{m+n}$ $mとnの和$
$(a^m)^n=a^{mn}$ $mとnの積$
$(ab)^n=a^nb^n$ $nがそれぞれに$

整式の乗法

(単項式)×(単項式)の場合
係数の積と文字の積を掛け合わせる場合

$3ab×4a^2b\\
=(3×4)×(ab×a^2×b)\\
=12×(a×a^2)×(b×b)\\
=12×a^{1+2}×b^{1+1}\\
=12a^3b^2$

(単項式)×(多項式)、(多項式)×(多項式)の場合
分配法則を用いて計算をする。
$a(b+c)\\
=ab+ac$

$(a+b)(c+d)\\
=a(c+d)×b(c+d)\\
=ac+ad+bc+bd$

多項式の積の形をした式を分配法則と指数法則を使って計算して、括弧を外して単項式の和にすることを、もとの式を展開するという。

例題

次の計算をせよ。
$(1)3a×(a^3)^2$
$(2)4a^2b×(-5ab^3)$
$(3)(-4x^2y)^2×(-4x^3y^2)^3$

例題解答

$(1)3a×(a^3)^2\\
=3a×a^{3×2}\\
=3a×a^6\\
=3×a^{1+6}$

$(2)4a^2b×(-5ab^3)\\
=4a^2×-5ab^{1+3}\\
=4a^2×-5ab^4\\
=4×-5×a^{2+1}b^4\\
=-20a^3b^4$

$(3)(-4x^2y)^2×(-4x^3y^2)^3\\
=(-4)^2(x^2)^2y^2×(-4)^3(x^3)^3(y^2)^3\\
=16x^{2×2}y^2×-64x^{3×3}y^{2×3}\\
=16x^4y^2×-64x^9y^6\\
=(16×-64)x^{4+9}y^{2+6}\\
=-1024x^{13}y^8$

係数の積の符号$(-)$ 正・負 ̟±
偶数 $+$
奇数 $-$

問題

次の計算をせよ。
$(1)x^2×x^4$
$(2)(x^4)^3$
$(3)(-x^3yz)^3$
$(4)(-3ab^2x^3)^3×(-4a^2b^3)^2$
$(5)(-xy^2)^3×(-x^3y)×5xy$

問題解答

$(1)x^2×x^4\\
=x^{2+4}\\
=x^6$

$(2)(x^4)^3\\
=x^{4×3}\\
=x^{12}$

$(3)(-x^3yz)^3\\
=(-x^3)^3y^3z^3\\
=-x^{3×3}y^3z^3\\
=-x^9y^3z^3$

$(4)(-3ab^2x^3)^3×(-4a^2b^3)^2\\
=(-3)^3a^3b^{2×3}x^{3×3}×(-4)^2a^{2×2}b^{3×2}\\
=-27a^3b^6x^9×16a^4b^6\\
=-432a^{3+4}b{6+6}x^9\\
=-432a^7b^{12}x^9$

$(5)(-xy^2)^3×(-x^3y)×5xy\\
=(-x)^3×y^{2×3}×-5x^{3+1}y^{1+1}\\
=-x^3y^6×-5x^4y^2\\
=5x^7y^8$

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