式の展開の公式

式の展開の公式

式の展開の公式

式の展開の公式

重要な展開の公式

展開の公式 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$

例題

次の式を展開せよ。
$(1)(3x+1)^2$
$(2)(3x-2y)^2$
$(3)(3x-4y)(3x+4y)$
$(4)(x-4)(x+2)$
$(5)(4x-7)(2x+5)$

例題解答

$(1)(3x+1)^2\\
=(3x)^2+(2×3x×1)+1^2\\
=9x^2+6x+1$
$公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(2)(3x-2y)^2\\
=(3x)^2-(2×3x×2y)+(2y)^2\\
=9x^2-12xy+4y^2$
$公式(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(3)(3x-4y)(3x+4y)\\
=(3x)^2-(4y)^2\\
=9x^2-16y^2$
$公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(4)(x-4)(x+2)\\
=x^2+(-4+2)x+(-4×2)\\
=x^2-2x-8$
$公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

$(5)(4x-7)(2x+5)\\
=(4×2×x^2+\{4×5+(-7)×2\}x+(-7)×5\\
=8x^2+6x-35$
$公式(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

問題

次の式を展開せよ。
$(1)(4a+2)^2$
$(2)(4x-3)^2$
$(3)(2x+3)(2x-3)$
$(4)(-2b-a)(a-2b)$
$(5)(x+5)(x+6)$
$(6)(2t-3)(2t-5)$
$(7)(3x+1)(2x-2)$
$(8)(3a+4b)(4a+5b)$
$(9)(7x-3)(-2x+3)$

問題解答

$(1)(4a+2)^2\\
=(4a)^2+(2×4a×2)+2^2\\
=16a^2+16a+4$
$公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(2)(4x-3)^2\\
=(4x)^2-(2×4x×-3)+(-3)^2\\
=16x^2+24x+9$
$公式(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(3)(2x+3)(2x-3)\\
=(2x)^2-3^2\\
=4x^2-9$
$公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(4)(-2b-a)(a-2b)\\
=-(a+2b)(a-2b)\\
=-\{a^2-(2b)^2\}\\
=-(a^2-4b^2)\\
=-a^2+4b^2$
$公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
公式に当てはめられるように式を変形する。

$(5)(x+5)(x+6)\\
=x^2+(5+6)x+30\\
=x^2+11x+30$
$公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

$(6)(2t-3)(2t-5)\\
=(2t)^2+(-3-5)2t+(-3×-5)\\
=4t^2-16t+15$
$公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
※$2t$を$x$と置き換え公式に当てはめる。

$(7)(3x+1)(2x-2)\\
=(3×2×x^2)+(3×-2+1×2)x-2\\
=6x^2-4x-2$
$公式(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

$(8)(3a+4b)(4a+5b)\\
=(3×4×a^2)+(3×5b+4b×4)a+(4b×5b)\\
=12a^2+31ab+20b^2$
$公式(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

$(9)(7x-3)(-2x+3)\\
=(7×-2×x^2)+(7×3+-3×-2)x+(-3×3)\\
=-14x^2+27x-9$
$公式(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

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