3つ以上の項でできた式の展開

3つ以上の項でできた式の展開

3つ以上の項でできた式の展開

3つ以上の項でできた式の展開

3つ以上の項でできた式の展開は、公式が使用できるように置き換えで2つの項にすると良い。
$(x-3y+4)(x-3y+5)$などの場合は、$x-3y$を$t$に置換えて$(t+4)(t+5)$公式に当てはめると計算が楽になる。
もちろん、公式に当てはめて計算後に元に戻す。
また、置換える時は、最初に断り書きを書く。
$(a+b+c)^2\\
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

これは公式としても使用できる。
右辺の整理の仕方は、2乗の項はアルファベット順
2文字の積は、輪環の順$(ab,bc,ca)や(xy,yz,zx)$と書くと式が整理しやすく覚えやすい。

例題

次の式を展開せよ。
$(1)(x-5y+1)(x-5y+4)$
$(2)(a+b+c)^2$
$(3)(x^2+x-2)(x^2-x+2)$

例題解答

$(1)(x-5y+1)(x-5y+4)\\
x-5y=tとおくと\\
=(t+1)(t+4)\\
=t^2+(1+4)t+(1×4)\\
=t^2+5t+4\\
=(x-5y)^2+5x-25y+4\\
=x^2-(2×x×5y)+25y^2+5x-25y+4\\
=x^2-10xy+25y^2+5x-25y+4$

$(2)(a+b+c)^2\\
b+c=tとおくと\\
=(a+t)^2\\
=a^2+2at+t^2\\
=a^2+\{2×a×(b+c)\}+(b+c)^2\\
=a^2+2ab+2ca+b^2+2bc+c^2\\
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$(3)(x^2+x-2)(x^2-x+2)\\
x-2=tとおくと\\
=(x^2+x-2)\{x^2-(x-2)\}\\
=(x^2+t)(x^2-t)\\
=(x^2)^2-t^2\\
=x^4-(x-2)^2\\
=x^4-(x^2-4x+4)\\
=x^4-x^2+4x-4$

問題

次の式を展開せよ。
$(1)(3a-b-4)(3a-b-5)$
$(2)(x-2y+3z)^2$
$(3)(a+b-3c)(a-b+3c)$
$(4)(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

問題解答

$(1)(3a-b-4)(3a-b-5)\\
3a-b=tとおくと\\
=(t-4)(t-5)\\
=t^2(-4-5)t+20\\
=(3a-b)^2-27a+9b+20\\
=9a^2-6ab+b^2-27a+9b+20$

$(2)(x-2y+3z)^2\\
-2y+3z=tとおくと\\
=(x+t)^2\\
=x^2+2xt+t^2\\
=x^2+2x(-2y+3z)+(-2y+3z)^2\\
=x^2-4xy+6zx+4y^2-12yz+9z^2\\
=x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx$

別解答※圧倒的に早い
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2caの利用$

$(2)(x-2y+3z)^2\\
=\{x+(-2y)+3z\}^2\\
=x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx$

$(3)(a+b-3c)(a-b+3c)\\
b+3c=tとおくと\\
=(a+b-3c)\{a-(b-3c)\}
=(a+t)(a-t)\\
=a^2-t^2\\
=a^2-(b-3c)^2\\
=a^2-(b^2-6bc+9c^2)\\
=a^2-b^2+6bc-9c^2\\
=a^2-b^2+6bc-9c^2$

$(4)(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)\\
x^2+2=tとおくと\\
=(t+2x)(t-2x)\\
=t^2-4x^2\\
=(x^2+2)^2-4x^2\\
=x^4+4x^2+4-4x^2\\
=x^4+4$

※$(2x+2)=t$と置き換える事はできない。
$-t$として$2x$の前の符号を変えてしまうと、$-$の部分が$+2$の部分まで影響してしまうため、$(2x-2)$となってしまう。

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