掛ける順序の確認と組合せを工夫する

掛ける順序の確認と組合せを工夫する

掛ける順序の確認と組合せを工夫する

掛ける順序の確認と組合せを工夫する

展開の公式 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
掛ける順序や組合せを工夫して、公式を活用することで展開を楽にすることができる。

例題

次の式を展開せよ。
$(1)(4a+1)^2(4a-1)^2$
$(2)(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$

例題解答

$(1)(4a+1)^2(4a-1)^2\\
=\{(4a+1)(4a-1)\}^2\\
=(16a^2-1)^2\\
=256a^4-32a^2+1$
※$A^2B^2=(AB)^2$の公式を利用する。

$(2)(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)\\
=(4x^2+y^2)(4x^2-y^2)\\
=16x^2-y^4$
※$(2x+y)(2x-y)$は公式を利用し簡単に計算できるので、先にまとめておく。

問題

$(1)(3a+b)^2(3a-b)^2$
$(2)(x^2+9)(x+3)(x-3)$
$(3)(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

問題解答

$(1)(3a+b)^2(3a-b)^2\\
=\{(3a+b)(3a-b)\}^2\\
=(9a^2-b^2)^2\\
=81a^4-18a^2b^2+b^4$

$(2)(x^2+9)(x+3)(x-3)\\
=(x^2+9)(x^2-9)\\
=x^4-81$

$(3)(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2\\
=\{(x-y)(x+y)\}^2\\
=(x^2-y^2)^2(x^2+y^2)^2\\
=\{(x^2-y^2)(x^2+y^2)\}^2\\
=(x^4-y^4)^2\\
=x^8-2x^4y^4+y^8$

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