因数分解とは何?

因数分解とは何?

因数分解とは何?

因数分解とは何?

$(x-2)(x-4)$を展開すると、$x^2-6x+8$という解答になる。このことを逆にすると、$2$次式$2x^2-6x+8$は$2$つの$1$次式$x-2とx-4$を掛けた積の形で表すことが出来る。

$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$

と逆の考えも出来る。
このような整式$P$を、$P=AB$や$P=ABC$など、$2$つ以上の整式の積の形として表すことを、多項式$P$を因数分解するという。積を構成している式$A,B,C$を$P$の因数という。
例えば先程の$(x-2)(x-4)$は$2x^2-6x+8$の因数と言える。

因数分解は展開の逆となっている。

$x^2-6x+8\frac{\frac{因数分解}{\longrightarrow}}{\frac{展開}{\longleftarrow}}(x-2)(x-4)$

式の展開は、分配法則を利用して出来るが、因数分解は必ずしも出来るとは限らない。

因数分解するには?

展開と因数分解 因数分解 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

主に公式を使用して行う。

まず、共通因数をくくり出す。

因数分解の公式は
$ma+mb=m(a+b)$
$m$が共通因数となる。

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^2y-xy^2$
$(2)6a^2b-9ab^2+3ab$
$(3)(a+b)x-(a+b)y$
$(4)(a-b)^2+c(b-a)$

例題解答

$(1)x^2y-xy^2\\
=xy×x-xy×y\\
=xy(x-y)$

$(2)6a^2b-9ab^2+3ab\\
=ab(6a-9b+3)\\
=3ab(2a-3b+1)$

$(3)(a+b)x-(a+b)y\\
=(a+b)(x-y)$

$(4)(a-b)^2+c(b-a)\\
=(a-b)^2-c(a-b)\\
=(a-b)(a-b)-c(a-b)\\
=(a-b)\{(a-b)-c\}\\
=(a-b)(a-b-c)$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)3ab-4bc$
$(2)x^2y-3xy^2$
$(3)9a^3b+15a^2b^2-3a^2b$
$(4)a(x-2)-(x-2)$
$(5)(a-b)x^2+(b-a)xy$

問題解答

$(1)3ab-4bc\\
=b(3a-4c)$

$(2)x^2y-3xy^2\\
=xy(x-3y)$

$(3)9a^3b+15a^2b^2-3a^2b\\
=3a^2b(3a+5b-3)$

$(4)a(x-2)-(x-2)\\
=(x-2)(a-1)$

$(5)(a-b)x^2+(b-a)xy\\
x(a-b)=mとすると
=(a-b)x^2-(a-b)xy\\
=(a-b)x×x-(a-b)xy\\
=m×x-m×y\\
=m(x-y)\\
=x(a-b)(x-y)$
※置換えをするとわかりやすい。途中からでも、$x(a-b)=m$などと置換えてみる。

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