単項式と多項式について

単項式と多項式について

単項式と多項式に関する問題

単項式と次数、係数について

$2,b,4y,5ax^2$などの数や文字及びそれらを掛け合わせただけで作られる式を、単項式という。

その数の部分をその単項式の係数、掛けた文字の個数を、その単項式の次数という。

数だけの単項式の次数は0である。0の次数は考えないものとする。

多項式とその次数

$5x^2+4x+2$のように、いくつかの単項式の和の形で表された式を多項式という。

+で繋がれたそれぞれの単項式を項という。

この多項式の項の中で、最も高い次数が、その多項式の次数となる。次数が$n$である多項式を$n$次式という。

単項式と多項式を合わせて整式という。

  • 次数は 掛けた文字の個数 = 文字の指数の和
  • 係数は 数の部分

次数は、各文字の指数を足して求める。

例として$4xy^2=4×x^1y^2$として、次数は $1+2=3$ 係数は $4$
※$x$は$x^1$という事に注意です。

$[x]$に着目してという問題については、$x$以外は係数として考えます。

特定の文字に着目するということ
2種類以上の文字を含む式に関する問題については、特定された文字に着目して考えることがある。
この時は、着目する文字以外の文字は文字と考えないで数と考える。
多くの文字を含む式は、特定の文字に着目することで、問題を解きやすくなることがあります。

$5abx^2y$ [$x$]を$x$に着目して次数と係数と求める場合は、$x$以外を数字と考えます。
$5aby$を数字として考え$x^2$の次数を求めますので、次数は$2$、係数は$5aby$となります。

例題

例題
次の単項式の次数と係数をいえ、また[ ]内の文字に着目したとき、その次数と係数をいえ。

(1)$3abx^2$ [$x$]
(2)$-6xy^2z^3$ [$y$]、[$y$と$z$]

例題解答

解答
(1)$3abx^2=3×a^1b^1x^2$は、$1+1+2=4$であるから次数は$4$、係数は$3$となる。
$x$に着目すると、$3ab×x^2$となり、次数は$2$、係数は$3ab$となる。

(2)$-6xy^2z^3=-6×x^1y^2z^2$は、$1+2+3=6$であるから次数は$6$、係数は$-6$となる。
$y$に着目すると、$-6xz^2×y^2$となり、次数は$2$、係数は$-6xz^2$となる。
$y$と$z$に着目すると、$-6x×z^2y^2$となり、次数は$4$、係数は$-6x$となる。

問題

次の単項式の次数と係数をいえ、また[ ]内の文字に着目したとき、その次数と係数をいえ。
(1)$2ax^2$ [$a$]
(2)$-\frac{1}{3}ab^7x^2y^7$ [$y$]、[$a$と$b$]

問題解答

(1)$2ax^2=2×a^1x^2$であるので、$1+2=3$で次数は$3$係数は$2$となります。
$a$に着目した場合は、$2x^2×a^1$となりますので、次数は$1$で係数は$2x^2$となります。

(2)$-\frac{1}{3}ab^7x^2y^7=-\frac{1}{3}×a^1b^7x^2y^7$であるので、$1+7+2+7=17$であり、次数は$17$で係数は$-\frac{1}{3}$となります。
$y$に着目した場合は、$-\frac{1}{3}ab^7x^2y^7=-\frac{1}{3}a^1b^7x^2×y^7$であるので、次数は7で係数は$-\frac{1}{3}ab^7x^2$となります。
$a$と$b$に着目した場合は、$-\frac{1}{3}ab^7x^2y^7=-\frac{1}{3}x^2y^7×a^1b^7$であるので、1+7=8であり、次数は8で係数は$-\frac{1}{3}x^2y^7$となります。

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