公式を使用した因数分解

公式を使用した因数分解

公式を使用した因数分解

$a^2±2ab+b^2,a^2-b^2$の公式を使用した因数分解

①次数が$2$、項が$3$つの式($2$次$3$項式)で、$\color{red}{〇^2+□+△^2}$の形のとき、
$\color{red}{□=2×〇×△}$ならば$(〇+△)^2$
$\color{red}{□=-2×〇×△}$ならば$(〇-△)^2$

②平方の差の形の式$\color{red}{〇^2-△^2}$のときは$\color{red}{(〇+△)(〇-△)}$
展開と因数分解 因数分解 展開後
和の平方 $\color{red}{(a+b)^2}$ $\color{red}{a^2+2ab+b^2}$
差の平方 $\color{red}{(a-b)^2}$ $\color{red}{a^2-2ab+b^2}$
和と差の積 $\color{red}{(a+b)(a-b)}$ $\color{red}{a^2-b^2}$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^2+6x+9$
$(2)25x^2+30xy+9y^2$
$(3)9a^2-24ab+16b^2$
$(4)18a^3-48a^2+32a$
$(5)16a^2-81b^2$
$(6)-3a^3+27ab^2$

例題解答

$(1)x^2+6x+9\\
=x^2+2×x×3+3^2\\
=(x+3)^2$
$\color{red}{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}を使用$

$(2)25x^2+30xy+9y^2\\
=(5x)^2+2×5x×3y+(3y)^2\\
=(5x+3y)^2$
$\color{red}{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}を使用$

$(3)9a^2-24ab+16b^2\\
=(3a)^2-2×3a×4b+(4b)^2\\
=(3a-4b)^2$
$\color{red}{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}を使用$

$(4)18a^3-48a^2+32a\\
=a(18a^2-48a+32)\\
=2a(9a^2-24a+16)\\
=2a\{(3a)^2-2×3a×4+4^2\}\\
=2a(3a-4)$
$\color{red}{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}を使用$

$(5)16a^2-81b^2\\
=(4a+9b)(4a-9b)$
$\color{red}{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}を使用$

$(6)-3a^3+27ab^2\\
=-3a(a^2-9b^2)\\
=-3a(a+3b)(a-3b)$
$\color{red}{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}を使用$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^2+2x+1$
$(2)4x^2+4xy+y^2$
$(3)x^2-10x+25$
$(4)9a^2-12ab+4b^2$
$(5)x^2-36$
$(6)8a^2-50$
$(7)16x^2+24xy+9y^2$
$(8)8ax^2-40ax+50a$
$(9)5a^3-20ab^2$

問題解答

$(1)x^2+2x+1\\
=x^2+2×x×1+1^2\\
=(x+1)^2\\$
$\color{red}{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}を使用$

$(2)4x^2+4xy+y^2\\
=(2x)^2+2×2x×y+y^2\\
=(2x+y)^2$
$\color{red}{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}を使用$

$(3)x^2-10x+25\\
=x^2-2×x×5+5^2\\
=(x-5)^2$
$\color{red}{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}を使用$

$(4)9a^2-12ab+4b^2\\
=(3a)^2-2×3a×2b+(2b)^2\\
=(3a-2b)^2$
$\color{red}{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}を使用$

$(5)x^2-36\\
=(x+6)(x-6)$
$\color{red}{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}を使用$

$(6)8a^2-50\\
=2(4a^2-25)\\
=2(2a+5)(2a-5)$
$\color{red}{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}を使用$

$(7)16x^2+24xy+9y^2\\
=(4x)^2+2×4x×3y+(3y)^2\\
=(4x+3y)^2$
$\color{red}{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}を使用$

$(8)8ax^2-40ax+50a\\
=2a(4x^2-20x+25)\\
=2a\{(2x)^2-2×2x×5+5^2\}\\
=2a(2x-5)^2$
$\color{red}{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}を使用$

$(9)5a^3-20ab^2\\
=5a(a^2-4b^2)\\
=5a(a+2b)(a-2b)$
$\color{red}{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}を使用$

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