公式を使用した因数分解(2)

公式を使用した因数分解(2)

公式を使用した因数分解(2)

$x^2+px+q$の公式を使用した因数分解

掛けて$q$、加えて$p$となる$2$数$a$、$b$を見つける

因数分解の公式 $\color{red}{x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}$

最初に掛けて$q$になる2つの数をあげる。
次に加えて$p$となる$2$つの数を$a,b$として公式に当てはめる。

展開と因数分解 因数分解 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$\color{red}{(x+a)(x+b)}$ $\color{red}{x^2+(a+b)x+ab}$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

掛けて$q$、加えて$p$となる2つの数$a,b$の見つけ方は?

積が$q=15$(正)、和が$p=8$(正)となる$2$つの数は、ともに正の数であり、
$15=1×15,3×5$のどちらかで、$3$と$5$になる。

積が$q=12$(正)、和が$p=-7$(負)となる2つの数は、ともに負の数であり、
$12=-1×-12,-2×-6,-3×-4$のどれかで、$-3$と$-4$になる。

積が$q=-24$(負)、和が$p=2$(正)となる2つの数は異なる符号であり、この場合は和が正なので、正の数が大きい
$-24=-1×24,-2×12,-3×8,-4×6$のどれかで、$-4$と$6$になる。

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^2+8x+15$
$(2)x^2-13x+36$
$(3)x^2+2x-24$
$(4)x^2-4xy-12y^2$

例題解答

$(1)x^2+8x+15\\
=x^2+(3+5)x+(3×5)\\
=(x+3)(x+5)$

$(2)x^2-13x+36\\
=x^2(-4-9)+(-4×-9)\\
=(x-4)(x-9)$

$(3)x^2+2x-24\\
=x^2+(6-4)x+(6×-4)\\
=(x+6)(x-4)$

$(4)x^2-4xy-12y^2\\
=x^2(-6y+2y)+(-6y×2y)\\
=(x-6y)(x+2y)$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^2+14x+48$
$(2)a^2-17a+72$
$(3)x^2+4xy-32y^2$
$(4)x^2-6x-16$
$(5)a^2+3ab-18b^2$
$(6)x^2-7xy-18y^2$

問題解答

$(1)x^2+14x+48\\
=x^2+(8+6)x+(8×6)\\
=(x+8)(x+6)$

$(2)a^2-17a+72\\
=a^2(-8-9)a+(-8×-9)\\
=(a-8)(a-9)$

$(3)x^2+4xy-32y^2\\
=x^2+(8y-4y)x+(8y×-4y)\\
=(x+8y)(x-4y)$

$(4)x^2-6x-16\\
=x^2(-8+2)x+(-8×2)\\
=(x-8)(x+2)$

$(5)a^2+3ab-18b^2\\
=a^2+(6b-3b)a+(6b×-3b)\\
=(a+6b)(a-3b)$

$(6)x^2-7xy-18y^2\\
=x^2+(-9y+2y)x+(-9y×2y)\\
=(x-9y)(x+2y)$

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする