公式を使用した因数分解(3)たすきがけの因数分解

公式を使用した因数分解(3)

公式を使用した因数分解(3)

$Ax^2+Bx+C$の公式を使用したたすきがけの因数分解

$Ax^2+Bx+C$の因数分解

因数分解の公式$\color{red}{acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)}$
$a,b,c,d$を見つけるためには、たすきがけを使用してみよう。
因数分解のたすきがけ
$\color{red}{A=ac\\
B=ad+bc\\
C=bd}$

  1. $x^2$の係数$A$を$2$数の積$ac$に分解する。
  2. 定数項$C$を$2$数の積$bd$に分解する。
  3. 上の図のように、たすきに(斜めに)掛けて
    $ad+bc=B$となるものが、求める$a,b,c,d$
展開と因数分解 因数分解 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$\color{red}{(ax+b)(cx+d)}$ $\color{red}{acx^2+(ad+bc)x+bd}$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)2x^2+7x+6$
$(2)6x^2+5x-6$

例題解答

$Ax^2+Bx+C$
$A$ $a,c$両方が正か負 $a,c$片方が負
$B$ $ad,bc$片方か両方が正 $ad,bc$片方か両方が負
$C$ $b,d$両方が正か負 $b,d$片方が負

$(1)2x^2+7x+6\\
=(x+2)(2x+3)$
たすきがけ因数分解

$(2)6x^2+5x-6\\
=(2x+3)(3x-2)$
因数分解たすきがけ

たすきがけ因数分解
※実際は、$6x^2+5x-6$は$2$や$3$で括ることができないので、そもそも考える必要がない。
同じ約数を持っていると、$(ax+b)$が実際に$(3x+6)=3(x+2)$などと括ることができてしまうので、同じ約数を持つ数字が入ることはない。
従って、組合せをある程度絞り込む事ができる。

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)6x^2+13x+6$
$(2)3a^2-11a+6$
$(3)12x^2+5x-2$
$(4)6x^2-5x-4$
$(5)4x^2-4x-15$
$(6)6a^2+17ab+12b^2$
$(7)6x^2+5xy-21y^2$
$(8)12x^2-8xy-15y^2$
$(9)4x^2-3xy-27y^2$

問題解答

$(1)6x^2+13x+6\\
=(3x+2)(2x+3)$
たすきがけ因数分解

$(2)3a^2-11a+6\\
=(a-3)(3a-2)$
たすきがけ因数分解

$(3)12x^2+5x-2\\
=(3x+2)(4x-1)$
たすきがけ因数分解

$(4)6x^2-5x-4\\
=(2x+1)(3x-4)$
たすきがけ因数分解

$(5)4x^2-4x-15\\
=(2x+3)(2x-5)$
たすきがけ因数分解

$(6)6a^2+17ab+12b^2\\
=(2a+3b)(3a+4b)$
たすきがけ因数分解

$(7)6x^2+5xy-21y^2\\
=(2x-3y)(3x+7y)$
たすきがけ因数分解

$(8)12x^2-8xy-15y^2\\
=(2x-3y)(6x+5y)$
たすきがけ因数分解

$(9)4x^2-3xy-27y^2\\
=(x-3y)(4x+9y)$
たすきがけ因数分解

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