置換えの因数分解の方法

置換えの因数分解の方法

置換えの因数分解の方法

置換えの因数分解の方法

複雑な式の因数分解をする時は、同じ式やまとまった式は1つの文字に置換えて解く。
( )内の式に注目し、文字に置換えた後に公式を利用して因数分解をする。
もちろん、置換えた文字は、もとの式に戻す。

例題

$(1)(x+y)^2-10(x+y)+25$
$(2)2(x-3)^2+(x-3)-3$
$(3)(x^2+2x+1)-a^2$
$(4)4x^2-y^2+6y-9$

例題解答

$(1)(x+y)^2-10(x+y)+25\\
(x+y)=Xとおくと、\\
=X^2-10X+25\\
=X^2-(2×X×5)+5^2\\
=(X-5)^2\\
=(x+y-5)^2$

$(2)2(x-3)^2+(x-3)-3\\
(x-3)をXとおくと、\\
=2X^2+X-3\\
=(X-1)(2X+3)\\
=(x-4)(2x-3)$

$(3)(x^2+2x+1)-a^2\\
(x+1)=Xとおくと、\\
=X^2-a^2\\
=(X+a)(X-a)\\
=(x+1+a)(x+1-a)$

$(4)4x^2-y^2+6y-9\\
=(2x)^2-(y^2-6y+9)\\
=(2x)^2-(y-3)^2\\
=(2x+y-3)(2x-y+3)$
※$-y^2+6y-9を-(y^2-6y+9)$に変換

問題

$(1)(x+2)^2-5(x+2)-14$
$(2)16(x+1)^2-8(x+1)+1$
$(3)2(x+y)^2-7(x+y)+6$
$(4)4x^2+4x+1-y^2$
$(5)25x^2-a^2+8a-16$
$(6)(x+y+9)^2-81$

問題解答

$(1)(x+2)^2-5(x+2)-14\\
(x+2)=Xとおくと、\\
=X^2-5X-14\\
=(X-7)(X+2)\\
=(x-5)(x+4)$

$(2)16(x+1)^2-8(x+1)+1\\
(x+1)=Xとおくと、\\
=16X^2-8X+1\\
=(4X-1)^2\\
=(4x+3)^2$

$(3)2(x+y)^2-7(x+y)+6\\
(x+y)=Xとおくと、\\
=2X^2-7X+6\\
=(2X-3)(X-2)\\
=(2x+2y-3)(x+y-2)$

$(4)4x^2+4x+1-y^2\\
(2x+1)=Xとおくと、\\
=X^2-y^2\\
=(2x+1+y)(2x+1-y)\\
=(2x+y+1)(2x-y+1)$

$(5)25x^2-a^2+8a-16\\
=25x^2-(a^2-8a+16)\\
=25x^2-(a-4)^2\\
(a-4)=Aとおくと、\\
=(5x)^2+A^2\\
=(5x+a-4)(5x-a+4)$
※符号の変換に注意

$(6)(x+y+9)^2-81\\
(x+y+9)=Xとおくと、\\
=X^2-9^2\\
=(X+9)(X-9)\\
=(x+y+18)(x+y)$

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