置換えの因数分解の方法(2)4次式の置換え

置換えの因数分解の方法(2)4次式の置換え

置換えの因数分解の方法(2)4次式の置換え

置換えの因数分解の方法(2)4次式の置換え

次数が高い式の因数分解は置換えで次数を下げて公式に当てはめる。
公式に当てはめた後にもちろん式に戻す。

$3$次と$1$次の項がない$x$の$4$次式、$ax^4+bx^2+c$は、$a(x^2)^2+bx^2+c$と変換できるので、$x^2$の$2$次方程式となる。
これは、$x$の複$2$次式という。
方法は、$x^2=t$と置き換えて、$t$の$2$次方程式$at^2+bt+c$を因数分解する。
また、平方の差を作り出すように変形する。$(〇^2-△^2)$の形を作り出すように変形する。
$x^4+x^2+1$を$x^4=(x^2)^2,1=1^2$と考え、$(x^2+1)^2=(x^4+2x^2+1)-x^2$に変形できないか考えてみる。
$(x^2+1)^2-x^2$の平方の差の公式に当てはめられるように変形する。
$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$となる。

例題

$(1)a^4-b^4$
$(2)x^4-13x^2+36$

例題解答

$(1)a^4-b^4\\
a^2=x,b^2=yとおくと、
=x^2-y^2\\
=(x+y)(x-y)\\
=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$

$(2)x^4-13x^2+36\\
x^2=tとおくと、\\
=t^2-13t+36\\
=(t-4)(t-9)\\
=(x^2-4)(x^2-9)\\
=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^4-64$
$(2)16a^4-b^4$
$(3)x^4-5x^2+4$
$(4)4x^2-15x^2y^2-4y^2$

問題解答

$(1)x^4-81\\
x^2=tとおくと、\\
=t^2-9^2\\
=(t+9)(t-9)\\
=(x^2+9)(x^2-9)\\
=(x^2+9)(x+3)(x-3)$

$(2)16a^4-b^4\\
a^2=x,b^2=yとおくと、\\
=(4x)^2-y^2\\
=(4x+y)(4x-y)\\
=(4a^2+b^2)(4a^2-b^2)\\
=(4a^2+b^2)(2a+b)(2a-b)$

$(3)x^4-5x^2+4\\
x^2=tとおくと、\\
=t^2-5t+4\\
=(t-4)(t-1)\\
=(x^2-2)(x^2-1)\\
=(x^2-2)(x+1)(x-1)$

$(4)4x^2-15x^2y^2-4y^2\\
x^2=a,y^2=bとおくと、\\
=4a^2-15ab-4b^2\\
=(a-4b)(4a+b)\\
=(x^2-4y^2)(4x^2+y^2)\\
=(x+2y)(x-2y)(4x^2+y^2)$

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