因数分解のまとめ(解き方や公式と注意点)

因数分解のまとめ

因数分解についてのまとめを書いておきます。復習や忘れてしまった時に確認しましょう。

展開と因数分解 因数分解 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
和の立法 $(a+b)^3$ $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
差の立法 $(a-b)^3$ $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
立法の和 $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ $a^3+b^3$
立法の差 $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $a^3-b^3$
$(a+b)^3-3ab(a+b)$ $a^3+b^3$
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $a^3+b^3+c^3-3abc$

因数分解を解く時の流れ

因数分解チャート

  1. 共通因数の括り
  2. 公式
  3. たすきがけ$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$
  4. 置換え
  5. 次数の文字が低いものから整理して因数分解
  6. 2次式のたすきがけ因数分解
  7. 掛ける順序や組合せを工夫して因数分解
  8. 共通因数を作り出して因数分解

共通因数の括り出し

因数分解の公式 $ma+mb=m(a+b)$

$x^2y-xy^2=xy(x-y)$
注意点
$2ab$の項から$2ab$をくくり出す時、$0$ではなく$1×2ab$となるので注意が必要。
また、共通因数は単項式とは限らず、多項式が共通因数となることもある。
$2ab$だけではなく、$a-b$なども共通因数として扱える。

和の平方・差の平方・和と差の平方

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$(a+b)^2$または、$(a+b)^2$については、展開された式で見ると、$a^2+\color{red}{2}a\color{red}{b}+\color{red}{b^2}=(a+b)^2$
係数の部分が2×bとb^2の部分に注目して判断する。

$x^2+px+q$の因数分解

$x^2+\color{red}{(a+b)}x+\color{red}{ab}=(x+a)(x+b)$
a+bの和の部分とa×bの積の部分に注目して合う数字を見つける。

積が正なら同符号、負なら異符号となる。
積が正で和が正ならともに正符号となる。
積が正で和が負ならともに負符号となる。

$Ax^2+Bx+C$の因数分解

$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$
因数分解のたすきがけ
例題$(1)2x^2+7x+6\\
=(x+2)(2x+3)$
たすきがけ因数分解

上図のように、たすきに掛けて$ad+bc=B$となる数が、求める$a,b,c,d$となる。

たすきがけ因数分解

$Ax^2+Bx+C$
$A$ $a,c$両方が正か負 $a,c$片方が負
$B$ $ad,bc$片方か両方が正 $ad,bc$片方か両方が負
$C$ $b,d$両方が正か負 $b,d$片方が負

置換えの因数分解

複雑な式の因数分解をする時に、同じ式やまとまった式を$1$つの文字で置換える。
複$2$次式などは、$x^2=t$などと置換える。
平方の差の形$(〇^2-▢^2)$を作る事で解決できる場合もある。

文字を整理しての因数分解

多くの文字を含む因数分解について、次数が最低の文字について整理する。
$x$の$1$次式、$Ax+B$が因数分解できるならば、$A,B$に共通因数がある。

$3$乗の和や差の式の因数分解

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

共通因数を見つけ出し因数分解

例題$(1)x^3-3x^2+x-3\\
=x^2(x-3)+(x-3)\\
=(x^2+1)(x-3)$

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