式の展開(a±b)³、(a±b)(a²∓ab+b²)の公式の利用

式の展開(a±b)³、(a±b)(a²∓ab+b²)の公式の利用

式の展開(a±b)³、(a±b)(a²∓ab+b²)の公式の利用

式の展開$(a±b)^2、(a±b)(a^2∓ab+b^2)$の公式の利用

展開の公式

  1. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  2. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
  3. $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
  4. $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
展開と因数分解 因数分解 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
和の立法 $\color{red}{(a+b)^3}$ $\color{red}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
差の立法 $\color{red}{(a-b)^3}$ $\color{red}{a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
立法の和 $\color{red}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$ $\color{red}{a^3+b^3}$
立法の差 $\color{red}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ $\color{red}{a^3-b^3}$

例題

次の式を展開せよ。
$(1)(x+3)^3$
$(2)(2x-3y)^3$
$(3)(2x+1)(4x^2-2x+1)$

例題解答

$(1)(x+3)^3\\
=x^3+3x^2×3+3x×3^2+3^3\\
=x^3+9x^2+27x+27$

$(2)(2x-3y)^3\\
=8x^3-3×4x^2×3y+3×2x×9y^2-27y^3\\
=8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3$

$(3)(2x+1)(4x^2-2x+1)\\
=(2x)^3+1^3\\
=8x^3+1$

問題

$(1)(x+4)^3$
$(2)(3a-2b)^3$
$(3)(-2a+b)^3$
$(4)(a+3)(a^2-3a+9)$
$(5)(4x-3y)(16x^2+12xy+9y^2)$
$(6)(5a-3b)(25a^2+15ab+9b^2)$

問題解答

$(1)(x+4)^3\\
=x^3+3×x^2×4+3×x×4^2+4^3\\
=x^3+12x^2+48x+64$

$(2)(3a-2b)^3\\
=27a^3-3×9a^2×2b+3×3a×4b^2-8b^3\\
=27a^3-54a^2b+36ab^2-8b^3$

$(3)(-2a+b)^3\\
=-8a^3+3×4a^2b+3×-2a×b^2+b^3\\
=-8a^3+12a^2b-6ab^2+b^3$

$(4)(a+3)(a^2-3a+9)\\
=a^3+27$

$(5)(4x-3y)(16x^2+12xy+9y^2)\\
=64x^3-27y^3$

$(6)(5a-3b)(25a^2+15ab+9b^2)\\
=125a^3-27b^3$

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