式の展開、掛ける式の組合せを工夫して展開する

式の展開、掛ける式の組合せを工夫して展開する

式の展開、掛ける式の組合せを工夫して展開する

式の展開、掛ける式の組合せを工夫して展開する

複雑な式の展開は、掛ける順序や組合せを工夫しておこなう。
また、多くの文字を含む式については、1つの文字に着目して整理をする。

例題

$(1)(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$
$(2)(a+b)(b+c)(c+a)+abc$を$a$に着目して降べきの順に整理せよ。

例題解答

$(1)(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)\\
=\{(x+1)(x-2)\}\{(x+3)(x-4)\}\\
=(x^2-x-2)(x^2-x-12)\\
x^2-x=tとおくと、\\
=(t-2)(t-12)\\
=t^2-14t+24\\
=(x^2-x)^2-14(x^2-x)+24\\
=x^4-2x^3+x^2-14x^2+14x+24\\
=x^4-2x^3-13x^2+14x+24$

$(2)(a+b)(b+c)(c+a)+abc\\
=(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\}+abc\\
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc+abc\\
=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+(b+c)bc$

問題

$(1),(2)$は式を展開せよ。$(3)(4)$は$a$について降べきの順に整理せよ。
$(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$
$(2)x(x-1)(x+3)(x+4)$
$(3)(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
$(4)a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc$

問題解答

$(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\
=\{(x+1)(x+4)\}\{(x+2)(x+3)\}=\\
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\\
x^2+5x=tとおくと、\\
=(t+4)(t+6)\\
=t^2+10t+24\\
=(x^2+5x)^2+10x^2+50x+24\\
=x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24\\
=x^4+10x^3+35x^2+50x+24$

$(2)x(x-1)(x+3)(x+4)\\
=\{x(x+3)\}\{(x-1)((x+4)\}\\
=(x^2+3x)(x^2+3x-4)\\
x^2+3x=tとおくと、\\
=t(t-4)\\
=t^2-4t\\
=(x^2+3x)^2-4(x^2+3x)\\
=x^4+6x^3+9x^2-4x^2-12x\\
=x^4+6x^3+5x^2-12x$

$(3)(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\\
=\{a+(b+c)\}\{(b+c)a+bc\}-abc\\
=(b+c)a^2+abc+(b+c)^2a+(b+c)bc-abc\\
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)$

$(4)a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc\\
=(b+c)^2a+b(a^2+2ca+c^2)+c(a^2+2ba+b^2)-4abc\\
=(b+c)^2a+a^2b+2abc+bc^2+a^2c+2abc+b^2c-4abc\\
=(b+c)^2a+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c\\
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)$

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