3乗の和や差の式の因数分解の方法

3乗の和や差の式の因数分解の方法

3乗の和や差の式の因数分解の方法

3乗の和や差の式の因数分解の方法

展開の公式

  1. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
  2. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

※$(a^2+ab+b^2)$は因数分解が出来ないので注意が必要。

展開と因数分解 因数分解 展開後
和の平方 $(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$
差の平方 $(a-b)^2$ $a^2-2ab+b^2$
和と差の積 $(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)$ $x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)$ $acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(AB)^2$ $A^2B^2$
$(a+b+c)^2$ $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
和の立法 $(a+b)^3$ $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
差の立法 $(a-b)^3$ $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
立法の和 $\color{red}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$ $\color{red}{a^3+b^3}$
立法の差 $\color{red}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ $\color{red}{a^3-b^3}$

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^3+8$
$(2)27x^3-64$
$(3)125a^3+27b^3$

例題解答

$(1)x^3+8\\
=(x+2)(x^2-4x+4)$

$(2)27x^3-64\\
=(3x-4)(3x^2+12x+16)$

$(3)125a^3+27b^3\\
=(5a+3b)(25a^2-15ab+9b^2)$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)8x^3+1$
$(2)64a^3-125b^3$
$(3)108a^3-4b^3$

問題解答

$(1)8x^3+1\\
=(2x+1)(4x^2-2x+1)$

$(2)64a^3-125b^3\\
=(4a-5b)(16a^2+20ab+25b^2)$

$(3)108a^3-4b^3\\
=4(27a^3-b^3)\\
=4(3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$

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