多くの項を含む組合せによる因数分解

多くの項を含む組合せによる因数分解

多くの項を含む組合せによる因数分解

多くの項を含む組合せによる因数分解

多くの項を含む式は、項を組み合わせることで共通因数を作り出して因数分解をする。
公式があてはまらなくても、式の特徴を利用して因数分解できる事がある。

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^3-3x^2+x-3$
$(2)x^3+6x^2+12x+8$

例題解答

$(1)x^3-3x^2+x-3\\
=x^2(x-3)+(x-3)\\
=(x-3)(x^2+1)$

$(2)x^3+6x^2+12x+8\\
=(x+2)(x^2-2x+4)+6x(x+2)\\
=(x+2)(x^2+4x+4)\\
=(x+2)(x+2)^2\\
=(x+2)^3$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^3-5x^2-4x+20$
$(2)8a^3-b^3+3ab(2a-b)$
$(3)8x^3+1+6x^2+3x$
$(4)x^3-9x^2+27x-27$

問題解答

$(1)x^3-5x^2-4x+20\\
=x^2(x-5)-4(x-5)\\
=(x^2-4)(x-5)\\
=(x+2)(x-2)(x-5)$

$(2)8a^3-b^3+3ab(2a-b)\\
=(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)+3ab(2a-b)\\
=(2a-b)(4a^2+5ab+b^2+3ab)\\
=(2a-b)(4a^2+8ab+b^2)\\
=(2a-b)(4a^2+8ab+b^2)\\
=(2a-b)(4a+b)(a+b)$

$(3)8x^3+1+6x^2+3x\\
=(2x+1)(4x^2+2x+1)+3x(2x+1)\\
=(2x+1)(4x^2+2x+1+3x)\\
=(2x+1)(4x^2+5x+1)\\
=(2x+1)(4x+1)(x+1)$

$(4)x^3-9x^2+27x-27\\
=(x-3)(x^2+3x+9)-9x^2+27x\\
=(x-3)(x^2+3x+9)-9x(x-3)\\
=(x-3)(x^2+3x+9-9x)\\
=(x-3)(x^2-6x+9)\\
=(x-3)^3$

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