複雑な式の因数分解、複2次式での置換えによる因数分解

複雑な式の因数分解、複2次式での置換えによる因数分解

複雑な式の因数分解、複2次式での置換えによる因数分解

複雑な式の因数分解、複2次式での置換えによる因数分解

複雑な式の因数分解について、公式が使用できるように置き換えをする方法もある。

複2次式の因数分解は、平方の差の公式$(〇^2-▢^2)$を作り出すことで、因数分解できる事が多い。

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^4+x^2+1$
$(2)X^4+4$
$(3)x^6+9x^3+8$

例題解答

$(1)x^4+x^2+1\\
=(x^4+2x^2+1)-x^2\\
=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

$(2)X^4+4\\
=(x^4+4x^2+4)-4x^2\\
=(x^2+2)^2-(2x)^2\\
=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

$(3)x^6+9x^3+8\\
=(x^3)^2+9x^3+8\\
X^3=tとおくと、\\
=t^2+9t+8\\
=(t+8)(t+1)\\
=(x^3+8)(x^3+1)\\
=(x+2)(x^2-2x+4)(x+1)(x^2-x+1)$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)x^4+5x^2+9$
$(2)x^4-12x^2y^2+16y^4$
$(3)x^6-7x^3-8$

問題解答

$(1)x^4+5x^2+9\\
x^2=tとおくと、\\
=t^2+5t+9\\
=(t+3)^2-t\\
=(x^2+3)(x^2+2)$

$(2)x^4-12x^2y^2+16y^4\\
=(x^4-8x^2y^2+16y^4)-4x^2y^2\\
=(x^2-4y^2)^2-4x^2y^2\\
=(x^2-4y^2+2xy)(x^2-4y^2-2xy)$

$(3)x^6-7x^3-8\\
x^3=tとおくと、\\
=t^2-7t-8\\
=(t-8)(t+1)\\
=(x^3-8)(x^3+1)\\
=(x-2)(x^2+2x+4)(x+1)(x^2-x+1)\\
=(x^2+2x+4)(x^2-x+1)(x-2)(x+1)$

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