因数分解の文字の次数が同じ場合は1文字について整理する

因数分解の文字の次数が同じ場合は1文字について整理する

因数分解の文字の次数が同じ場合は1文字について整理する

因数分解の文字の次数が同じ場合は1文字について整理する

多くの文字を含む因数分解において、文字の次数が同じ場合は1つの文字について整理する。

下の例題のように、$a,b,c$のうち、どの$2$つの文字を入れ替えても、もとの式と同じになる式を、$3$文字の対象式という。
$a,b,c$のうち、どの$2$つの文字を入れ替えても、もとの式と符号だけが変わる式を、$3$文字の交代式という。

$3$文字の対象式、交代式の因数分解については、次のことが成り立つ。
$a,b,c$の対象式は、$a+b,b+c,c+a$の$1$つが因数ならば、他の$2$つも因数である。

$a,b,c$の交代式は、因数$(a-b)(b-c)(c-a)$をもつ。

例題

次の式を因数分解せよ。
$(1)a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc$
$(2)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

例題解答

$(1)a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc\\
=(b+c)a^2+ab^2+b^2c+c^2a+bc^2+2abc\\
=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+(b+c)bc\\
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc\\
=(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\}\\
=(a+c)(b+c)(c+a)$

$(2)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\\
=(b-c)a^2+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b\\
=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+(b-c)bc\\
=(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+(b-c)bc\\
=(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}\\
=(b-c)(a-b)(a-c)\\
=-(a-b)(b-c)(c-a)$

問題

次の式を因数分解せよ
$(1)abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$
$(2)(a+b)(b+c)(c+a)+abc$
$(3)a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc$

問題解答

$(1)abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\\
=(bc+b+c+1)a+(bc+b+c+1)\\
=(bc+b+c+1)(a+1)\\$

$(2)(a+b)(b+c)(c+a)+abc\\
=\{a^2+(b+c)a+bc\}(b+c)+abc\\
=(b+c)a^2+\{(b+c)^2+bc\}a+bc(b+c)\\
=\{a+(b+c)\}\{(b+c)a+bc\}\\
=(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$(3)a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc\\
=a(b+c)^2+b(c^2+2ca+a^2)+c(a^2+2ab+b^2)-4abc\\
=a(b+c)^2+bc^2+2abc+a^2b+a^2c+2abc+b^2c-4abc\\
=a(b+c)^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c\\
=(b+c)^2a+(b+c)a^2+(bc^2+b^2c)\\
=(b+c)^2a+(b+c)a^2+(b+c)bc\\
=(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\}\\
=(b+c)(a+b)(a+c)\\
=(a+b)(b+c)(c+a)$

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする