複雑な式の因数分解で置換えを利用したり組合せの工夫

複雑な式の因数分解で置換えを利用したり組合せの工夫

複雑な式の因数分解で置換えを利用したり組合せの工夫

複雑な式の因数分解で置換えを利用したり組合せの工夫

複雑な式の因数分解で、同じ式は1つの文字で置換える事も考える。

例題

次の式を因数分解せよ
$(1)(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8$
$(2)(x^2+5x)(x^2+5x-20)-96$
$(3)(x-1)x(x+1)(x+2)-24$

例題解答

$(1)(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8\\
(x^2+3x)=tとおくと、\\
=t^2-2t-8\\
=(t-4)(t+2)\\
=(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)\\
=(x+4)(x-1)(x+1)(x+2)$

$(2)(x^2+5x)(x^2+5x-20)-96\\
x^2+5x=tとおくと、\\
=t(t-20)-96\\
=t^2-20t-96\\
=(t-12)(t-8)\\
=(x^2+5x-24)(x^2+5x+4)\\
=(x-3)(x+8)(x+1)(x+4)$

$(3)(x-1)x(x+1)(x+2)-24\\
=(x^2+x-2)(x^2+x)-24\\
x^2+x=tとおくと、\\
=t^2-2t-24\\
=(t-6)(t+4)\\
=(x^2+x-6)(x^2+x+4)\\
=(x+3)(x-2)(x^2+x+4)$

問題

次の式を因数分解せよ。
$(1)(x^2+2x)^2-2(x^2+2x)-3$
$(2)(x^2+x-2)(x^2+x-12)-144$
$(3)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3$

問題解答

$(1)(x^2+2x)^2-2(x^2+2x)-3\\
x^2+2x=tとおくと、\\
=t^2-2t-3\\
=(t+1)(t-3)\\
=(x^2+2x+1)(x^2+2x-3)\\
=(x+1)^2(x+3)(x-1)$

$(2)(x^2+x-2)(x^2+x-12)-144\\
x^2+x=tとおくと、\\
=(t-2)(t-12)-144\\
=t^2-14t+24-144\\
=t^2-14t-120\\
=(t+6)(t-20)\\
=(x^2+x+6)(x^2+x-20)\\
=(x+5)(x-4)(x^2+x+6)$

$(3)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3\\
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3\\
x^2+5x=tとおくと、\\
=(t+4)(t+6)-3\\
=t^2+10t+21\\
=(t+3)(t+7)\\
=(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)\\$

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