整式の加法と減法についての問題

1.次の単項式の次数と係数。[]内の文字に着目したときの次数と係数とは。

$(ア)-2x^2y[x]$
次数は$3$係数は$-2、x$に着目した時は次数は$2$係数は$-2y$

$(イ)\frac{1}{4}abx^3y^2[aとy]$
次数は$7$係数は$\frac{1}{4}$、$a$とyに着目した時は次数は$3$係数は$\frac{1}{4}bx^3$

※着目した文字の数が次数となる。

2.次の整式は[]内の文字に着目すると何次式か。また、その時の定数項は何か。

$(ア)x^2-xy-6y^2+x+13y-6[x]、[xとy]$
$x$に着目した場合は、$2$次式であり定数項は$-6y^2+13y-6$
$x$と$y$に着目した場合は、$2$次式であり定数項は$-6$

$(イ)-ax^2+4bxy+cy^2+cx+d[xとy]、[xとyとb]$
$x$と$y$に着目した場合は、$2$次式であり定数項は$d$
$x$と$y$と$b$に着目した場合は、$3$次式であり定数項は$d$

3.次の式を(1)はxについて、(2)~(4)は[]内の文字について、それぞれ降べきの順に整理せよ。

$(1)3x^4-4x^3+6x^2-4x+3-x^4+9x^3-4\\
=2x^4+5x^3+6x^2-4x-1$

$(2)x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx[z]\\
=z^2-(x+y)z+x^2-xy+y^2$

$(3)x^4-4x^3+(a+4)x^2-2ax[a]\\
=x^4-4x^3+ax^2+4x^2-2ax\\
=(x^2-2x)a+x^4-4x^3+4x^2$

$(4)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)[a]\\
=(b-c)a^2+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b\\
=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-c^2b$

4.次の整式A,Bについて、A+BとA-Bをそれぞれ計算せよ。

$(1)A=-3x+3x^2+5,B=7x+8-2x^2\\
A+B\\
=x^2+4x+13\\
A-B\\
=5x^2-10x-3$

$(2)A=2b^2-4ab+a^2,B=5a^2-3b^2+ab\\
A+B\\
=6a^2-3ab-b^2\\
A-B\\
=-4a^2-5ab+5b^2$
※降べきの順に整理する。

$(3)A=\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}z,B=-\frac{1}{3}z+\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}y\\
A+B\\
=\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}z\\
A-B\\
=\frac{1}{6}x-y+\frac{1}{2}z$

4.次の計算をせよ。

$(1)(x^3-3x+2)-(4x+5-2x^2)+(1+3x-3x^2)\\
=x^3-x^2-4x-2$

$(2)3(3xy-x^2+2y^2)-2(-5x^2+2y^2-xy)\\
=9xy-3x^2+6y^2+10x^2-4y^2+2xy\\
=7x^2+11xy+2y^2$

$(3)x-[3\{4x-2(x-y+5z)+z\}+y]+7y\\
=x-\{3(2x+2y-9z)+y\}+7y\\
=-5x+27z$

$(4)A=3x^2-4x+1,B=-4x^2+3,C=2x^2+5x-7\\
のとき\\
3(A-2B)+4(B-C)+2(C-2A)\\
=3A-6B+4B-4C+2C-4A\\
=-A-2B-2C\\
=-(3x^2-4x+1)-2(-4x^2+3)-2(2x^2+5x-7)\\
=-3x^2+4x-1+8x^2-6-4x^2-10x+14\\
=-x^2-6x+7$

5.次の問に答えよ。

$A=x^2+3x-2,B=3x^2-2x+1$とするとき、$A+B$を計算すると(ア)▢であり、$A+B+C=x^2$となるCは(イ)▢である。
$(x^2+3x-2)+(3x^2-2x+1)\\
=4x^2+x-1$

$4x^2+x-1+C=x^2\\
=-4x^2-x+1+x^2\\
=-3x^2-x+1$

6、次の問に答えよ

(1)単項式$-3pq^2x^3y^2$の次数と係数をいえ。また、文字$q$に着目するとき、その次数と係数をいえ。
次数は$8$係数は$-3$
文字$q$に着目するときは、次数は$2$係数は$-3px^3y^2$

(2)整式$ax^2+xy^2-3y^3+6x+5by+1$は文字$x$と$y$に着目すると何次式か。また、その時の定数項は何か。
$3$次式、定数項は$1$

7.次の問に答えよ

$A=x^2-3xy+4z,B=2x^2-2xy+z,C=-x^2+3z$のとき、次の式を計算せよ。

$(1)A+B\\
=x^2-3xy+4z+2x^2-2xy+z\\
=3x^2-5xy+5z$

$(2)B-C\\
=2x^2-2xy+z+x^2-3z\\
=3x^2-2xy-2z$

$(3)2A+2C\\
=2(A+C)\\
=2(x^2-3xy+4z-x^2+3z)\\
=2(x^2-3xy+7z)\\
=2x^2-6xy+14z$

(4)A-2\{B-3(A-B)\}\\
=A-2(B-3A+3B)\\
=A-2(4B-3A)\\
=A-8B+6A\\
=7A-8B\\
=7(x^2-3xy+4z)-8(2x^2-2xy+z)\\
=7x^2-21xy+28z-16x^2+16xy-8z\\
=-9x^2-5xy+20z

次の問に答えよ

式$A$に式$B=2x^2-2xy+y^2$を加えるところを、誤って式$B$を引いてしまったので、間違った答え$x^2+xy+y^2$を得た。正しい答えを求めよ。
式$A$は、
$x^2+xy+y^2+2(2x^2-2xy+y^2)\\
=x^2+xy+y^2+4x^2-4xy+2y^2\\
=5x^2-3xy+3y^2$

次の問に答えよ

(7x^3+12x^2-4x-3)(x^5+3x^3+2x^2-5)の展開式でx^5の係数とx^3の係数を答えよ。
x^5の係数は,14x^5+36x^5-3x^5=47x^5で47
x^3の係数は,-35x^3-8x^3-9x^3=-52x^3で-52

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