整式の乗法についての問題

1.次の(1)、(2)を計算せよ。また、(3)~(6)の式を展開せよ。

$(1)-\frac{1}{4}x^2y^2×(2xy^3)^3\\
=-2x^5y^11$

$(2)500xz^3×(-\frac{1}{2}xy^2)^2×(\frac{2}{5}xz)^3\\
=500xz^3×(\frac{1}{4}x^2y^4)×(\frac{8}{125}x^3z^3)\\
=500xz^3×\frac{8}{500}x^5y^4z^3\\
=8x^6y^4z^6$

$(3)(\frac{3}{4}x^2-xy+\frac{9}{2}y^2)×(^4xy)\\
=-3x^3y+4x^2y^2-18xy^3\\$

$(4)(a^2-2a+2)(a^2+a-1)\\
=(a^2-2a+2)a^2+(a^2-2a+2)a+(a^2-2a+2)(-1)\\
=a^4-2a^3+2a^2+a^3-2a^2+2a-a^2+2a-2\\
=a^4-a^3-a^2+4a-2$

$(5)(a^2-b^2-2ab)(a-3b)\\
=a^3-ab^2-2a^2b-3a^2b+3b^3+6ab^2\\
=a^3-5a^b+5ab^2+3b^3$

$(6)(4a^2+6ab+9b^2)(2a+3b)\\
=8a^3+12a^2b+18ab^2+12a^2b+18ab^2+27b^3\\
=8a^3+24a^b+36ab^2+27b^3$

2.次の式を展開せよ。

$(1)(-2a+3b)^2\\
=4a^2-12ab+9b^2$

$(2)(2a-5b)(-5b-2a)\\
=(2a-5b)(2a+5b)(-1)\\
=(4a^2-25b^2)(-1)\\
=-4a^2+25b^2$

$(3)(2x+3y)(3x-2y)\\
=6x^2+(-4xy+9xy)-6y^2\\
=6x^2+5xy-6y^2$

$(4)(6a+5b)(3a-2b)\\
=18a^2+(-12ab+15ab)-10b^2\\
=18a^2+3ab-10b^2$

3.次の式を計算せよ。

$(1)(a+b)^2+(a-b)^2\\
=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\\
=2a^2+2b^2$

$(2)(a+b)^2-(a-b)^2\\
=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\
=4ab$

$(3)(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\\
=(a^2-2ab+b^2)+(c^2-2ca+a^2)+(b^2-2bc+c^2)\\
=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$

次の式を展開せよ。

$(1)(a+b+c)(a+b-c)\\
a+b=xとおくと、\\
=(x+c)(x-c)\\
=x^2-c^2\\
=a^2+2ab+b^2+c^2\\
=a^2+b^2+c^2+2ab$

$(2)(a-b+1)(3a-3b+2)\\
a-b=xとくと、\\
=(x+1)(3x+2)\\
=3x^2+5x+2\\
=3(a-b)^2+5(a-b)+2\\
=3a^2-6ab+b^2+5a-5b+2\\
=3a^2-6ab+5a+b^2-5b+2$

$(3)(x^2-x+2)^2\\
x^2-x=tとおくと、\\
=(t+2)^2\\
=t^2+4t+4\\
=(x^2-x)^2+4(x^2-x)+4\\
=x^4-2x^3+x^2+4x^2-4x+4\\
=x^4-2x^3+5x^2-4x+4$

$(4)(x^2-4x+1)(x^2+4x-1)\\
=\{x^2-(4x-1)\}\{x^2+(4x-1)
4x-1=tとくと、\\
=(x^2-t)(x^2+t)\\
=x^4-t^2\\
=x^4-(4x-1)^2\\
=x^4-16x^2+8x-1$
※$(x^2-4x+1)$を$\{x^2-(4x-1)\}$に変換できる事に注目

$(5)(x+y-z+1)(x-y-z-1)\\
\{(x-z)+(y+1)\}\{(x-z)-(y+1)\}\\
x-z=a,y+1=bとおくと、\\
=(a+b)(a-b)\\
=a^2-b^2\\
=(x-z)^2-(y+1)^2\\
=x^2-2xz+z^2-y^2-2y-1$
※式を上手く組み合わせて置換える事が必要

$(6)(1+x-x^2-x^3)(1-x-x^2+x^3)\\
=\{(1-x^2)+(x-x^3)\}\{(1-x^2)-(x-x^3)\}\\
=(1-x^2)^2-(x-x^3)^2\\
=(1-2x^2+x^4)-(x^2-2x^4+x^6)\\
=(1-2x^2+x^4)+(-x^2+2x^4-x^6)\\
=-x^6+3x^4-3x^2+1$

次の式を展開せよ。

$(1)(x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2\\
=(x^2-4y^2)^2(x^2+4y^2)^2\\
=(x^4-16y^4)^2\\
=x^8-32x^4y^256y^2$

$(2)(a+b+c)^2(a+b-c)^2\\
a+b=tとおくと、\\
=(t+c)^2(t-c)^2\\
=(t^2-c^2)^2\\
=t^4-2c^2t^2+c^4\\
=(a+b)^4-2c^2(a+b)^2+c^4\\
=(a^2+2ab+b^2)^2-2c^2(a^2+2ab+b^2)+c^4\\
=a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+a^2\\
b^2+2ab^3+b^4-2a^2c^2-4abc^2-2b^2c^2+c^4\\
=a^4+b^4+c^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3-2a^2c^2\\
-4abc^2-2b^2c^2$

$(3)(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\\
=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)\\
=(x^4-1)(x^4+1)\\
=x^8-1$

$(4)(x+1)(x+2)(x-1)(x-2)\\
=(x^2-1)(x^2-4)\\
=x^4-5x^2+4$

次の式を展開せよ。

$(1)(2x+5)(7x-3)\\
=14x^2-6x+35x-15\\
=14x^2+29x-15$

$(2)(a+3b-c)^2\\
a+3b=tとおくと、\\
=(t-c)^2\\
=t^2-2tc+c^2\\
=a^2+6ab+9b^2-2ac-6bc+c^2\\
=a^2+9b^2+c^2+6ab-6bc-2ca$

$(3)(3x-2y+1)(3x+2y-1)\\
=\{(3x-(2y-1)\}(3x+2y-1)\\
=(3x)^2-(2y-1)^2\\
=9x^2-(4y^2-4y+1)\\
=9x^2-4y^2+4y-1$

$(4)(x+3y)^2(x-3y)^2\\
=(x^2-9y^2)^2\\
=x^4-18x^2y^2+81y^4$

$(5)(4x^2+9y^2)(2x-3y)(2x+3y)\\
=(4x^2+9y^2)(4x^2-9y^2)\\
=16x^4-81y^4$

次の式を展開せよ。

$(1)(3x-1)^3\\
=(3x)^3-3(3x)^2×1+3×3x×1^2-1^3\\
=27x^3-27x^2+9x-1$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$(2)(3x^2-a)(9×4+3ax^2+a^2)\\
=(3x^2-a){(3x^2)^2-3x^2a+a^2\}\\
=(3x^2)^3-a^3\\
=27x^6-a^3$
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+b^3$

$(3)(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)\\
=(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)\\
=(x^3+1)(x^3-1)\\
=x^6-1$

$(4)(x+2)(x+4)(x-3)(x-5)\\
=(x^2-x-6)(x^2-x-20)
x^2-x=tとおくと、\\
=(t-6)(t-20)\\
=t^2-26t+120\\
=x^4-2x^3+x^2-26x^2+26x+120\\
=x^4-2x^3-25x^2+26x+120$

(5)(x+1)^3(x-1)^3\\
=(x^2-1)^3\\
=(x^2)^3-3(x^2)^2×1+3x^2×1^2-1^3\\
=x^6-3x^4+3x^2-1

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