因数分解についての問題

次の式を因数分解せよ

$(1)6x^2y^3-3x^3y^2+12x^4y^3\\
=3x^2y^2(2y-x+4x^2y)$

$(2)(a-b)^2-2(b-a)\\
=(a-b)^2+2(a-b)\\
=(a-b)(a-b+2)$

$(3)ax+bx+ay+by\\
=a(x+y)+b(x+y)\\
=(a+b)(x+y)$

$(4)2x^2-8y^2\\
=2(x^2-4y^2)\\
=2(x+2y)(x-2y)$

$(5)9m^2-30m+25\\
=(3m-5)^2$

$(6)x^2+x+\frac{1}{4}\\
=(x+\frac{1}{2})^2$

$(7)t^2+20t+64\\
=(t+16)(t+4)$

$(8)2x^3+4x^2y-6xy^2\\
=(2x^2+4xy-6y^2)x\\
=(2x-2y)(x+3y)x\\
=2x(x-y)(x+3y)$

次の式を因数分解せよ

$(1)2x^2+x-6\\
=(2x-3)(x+2)$

$(2)2x^2-5x+2\\
=(2x-1)(x-2)$

$(3)3x^2-4x-4\\
=(3x+2)(x-2)$

$(4)6x^2+xy-35y^2\\
=(3x-7y)(2x+5y)$

$(5)8a^2+14ab-15b^2\\
=(2a+5b)(4a-3b)$

$(6)12x^2-7xy-12y^2\\
=(3x-4y)(4x+3y)$

次の式を因数分解せよ

$(1)(a+b)^2+2(a+b)+1\\
a+b=tとおくと、\\
=t^2+2t+1\\
=(t+1)^2\\
(a+b+1)^2$

$(2)(x+3)^2+(x+3)-56\\
x+3=tとおくと、\\
=t^2+t-56\\
=(t+8)(t-7)\\
=(x+11)(x-4)$

$(3)4(x+y)^2-11(x+y)-3\\
x+y=tとおくと、\\
=4t^2-11t-3\\
=(4t+1)(t-3)\\
=(4x+4y+1)(x+y-3)$

$(4)(a+b+1)^2-b^2\\
=(a+b+1+b)(a+b+1-b)\\
=(a+2b+1)(a+1)$

$(5)x^2-4y^2-4y-1\\
=x^2-(4y^2+4y+1)\\
=x^2-(2y+1)^2\\
=(x+2y+1)(x-2y-1)$

$(6)(a+b)^2-(c-d)^2\\
=(a+b+c-d)(a+b-c+d)$

次の式を因数分解せよ

$(1)16x^4-81y^4\\
=(4x^2)^2-(9y^2)^2\\
=(4x^2+9y^2)(4x^2-9y^2)\\
=(4x^2+9y^2)(2x+3y)(2x-3y)$

$(2)a^4-6a^2+5\\
a^2=tとおくと、\\
=t^2-6t+5\\
=(t-1)(t-5)\\
=(a^2-1)(a^2-5)\\
=(a+1)(a-1)(a^2-5)$

$(3)4x^4-13x^2y^2+9y^4\\
x^2=a,y^2=bとおくと、\\
=4a^2-13ab+9b^2\\
=(4a-9b)(a-b)\\
=(2a+3b)(2a-3b)(a-b)\\
=(2x^2+3y^2)(2x^2-3y^2)(x^2-y^2)\\
=(2x^2+3y^2)(2x^2-3y^2)(x+y)(x-y)$

$(4)a^8-1\\
=(a^4)^2-1\\
=(a^4+1)(a^4-1)\\
=(a^4+1)(a^2+1)(a^2-1)\\
=(a^4+1)(a^2+1)(a+1)(a-1)$

$(5)(x+y)^4+(x+y)^2-2\\
(x+y)^2=tとおくと、\\
=t^2+t-2\\
=(t+2)(t-1)\\
=t^2+t-2\\$

$(6)(x^2-2x)^2-11(x^2-2x)+24\\
x^2-2x=tとおくと、\\
=t^2-11t+24\\
=(t-3)(t-8)\\
=(x^2-2x-3)(x^2-2x-8)\\
=(x-3)(x+1)(x+4)(x-2)$

次の式を因数分解せよ

$(1)x^3+2x^2y-x^2z+xy^2-2xyz-y^2z\\
=x^3+2x^2y+xy^2-z(x^2+2xy+y^2)\\
=x^3+2x^2y+xy^2-z(x+y)^2\\
=x(x^2+2xy+y^2)-z(x+y)^2\\
=x(x+y)^2-z(x+y)^2\\
=(x-z)(x+y)^2$

$(2)x^3+3x^2y+zx^2+2xy^2+3xyz+2zy^2\\
=x^3+3x^2y+2xy^2+z(x^2+3xy+2y^2)\\
=x(x^2+3xy+2y^2)+z(x^2+3xy+2y^2)\\
=x(x^2+3xy+2y^2)+z(x+y)(x+2y)\\
=x(x+y)(x+2y)+z(x+y)(x+2y)\\
=(x+z)(x+y)(x+2y)$

$(3)abc+a^2b-ab^2-a+b-c\\
=c(ab-1)+ab(a-b)-(a-b)\\
=c(ab-1)+(a-b)(ab-1)\\
=(a-b+c)(ab-1)$

次の式を因数分解せよ

$(1)x^2+5xy+4y^2-4x-13y+3\\
=x^2+(5y-4)x+(4y^2-13y+3)\\
=x^2+(5y-4)x+(4y-1)(y-3)\\
=(x+4y-1)(x+y-3)$

$(2)x^2-3xy-3x+2y^2+5y+2\\
=x^2+(-3y-3)+(2y^2+5y+2)\\
=x^2-(3y+3)+(2y+1)(y+2)\\
=(x-2y-1)(x-y-2)$

$(3)2x^2-5xy-3y^2+7x+7y-4\\
=2x^2+(-5y+7)x+(-3y^2+7y-4)\\
=2x^2+(-5y+7)x-(3y^2-7y+4)\\
=2x^2+(-5y+7)x+(-3y+4)(y-1)\\
=(2x+y-1)(x-3y+4)$

$(4)4x^2+2xy-6y^2+5y-1\\
=4x^2+2xy-(6y^2-5y+1)\\
=4x^2+2xy-(2y-1)(3y-1)\\
=(2x-2y+1)(2x+3y-1)$

$(5)6x^2+5xy+y^2+2x-y-20\\
=6x^2+5xy+2x+(y-5)(y+4)\\
=6x^2+(5y+2)x+(y-5)(y+4)\\
=(3x+y-5)(2x+y+4)$

次の式を因数分解せよ

$(1)3x^2-8x+5\\
=(3x-5)(x-1)$

$(2)4a^2-8ab-5b^2\\
=(2a+b)(2a-5b)$

$(3)6x^2+7x-10\\
=(6x-5)(x+2)$

$(4)15x^2+19xy-10y^2\\
=(3x+5y)(5x-2y)$

次の式を因数分解せよ

$(1)2(a+b)^2-(a+b)-6\\
a+b=tとおくと、\\
=2t^2-t-6\\
=(2t+3)(t-2)\\
=(2a+2b+3)(a+b-2)$

$(2)(x+2y)^2-3(x+2y)z-4z^2\\
x+2y=tとおくと、\\
=t^2-3tz-4z^2\\
=(t-4z)(t+z)\\
=(x+2y-4z)(x+2y+z)$

$(3)16x^2-9y^2+12y-4\\
=16x^2-(9y^2-12y+4)\\
=(4x)^2-(3y-2)^2\\
=(4x+3y-2)(4x-3y+2)$

$(4)x^4-256\\
=(x^2)^2-16^2\\
=(x^2+16)(x^2-16)\\
=(x^2+16)(x+4)(x-4)$

$(5)9a^4-37a^2b^2+4b^4\\
a^2=x,b^2=yとおくと、\\
=9x^2-37xy+4y^2\\
=(9x-y)(x-4y)$

次の式を因数分解せよ

$(1)a^2+2ab-5a-6b+6\\
=(2a-6)b+a^2-5a+6\\
=(2a-6)b+(a-2)(a-3)\\
=2(a-3)b+(a-2)(a-3)\\
=(a+2b-2)(a-3)$

$(2)ac-4b-2a+2bc\\
=a(c-2)+2b(c-2)\\
=(a+2b(c-2)$

$(3)x^3-(2a-3)x^2-2(3a-1)x-4a\\
=x^3-2ax^2+3x^2-6ax+2x-4a\\
=a(-2x^2-6x-4)+x^3+3x^2+2x\\
=-2a(x^2+3x+2)+x(x^2+3x+2)\\
=-2a(x+2)(x+1)+x(x+2)(x+1)\\
=(x-2a)(x+2)(x+1)$

次の式を因数分解せよ

$(1)x^2+2xy+y^2+2x+2y-8\\
=(x+y)^2+2(x+y)-8\\
=(x+y+4)(x+y-2)$

$(2)x^2-2xy-3y^2-5x-y+4\\
=x^2-x(2y-5)-(3y^2+y-4)\\
=x^2+(-2y+5)x+(-3y-4)(y-1)\\
=\{x+(-3y-4)\}\{x+(y-1)\}\\
=(x-3y-4)(x+y-1)$

$(3)4x^2-13xy+10y^2+18x-27y+18\\
=4x^2+(-13y+18x)x+10y^2-27y+18\\
=4x^2-(13y-18)x+(5y-6)(2y-3)\\
=\{4x-(5y-6)\}\{(x-(2y-3)\}\\
=(4x-5y+6)(x-2y+3)$

次の問に答えよ

式$A$に式$B=2x^2-2xy+y^2$を加えるところを、誤って式$B$を引いてしまったので、間違った答え$x^2+xy+y^2$を得た。正しい答えを求めよ。
式$A$は、
$x^2+xy+y^2+2(2x^2-2xy+y^2)\\
=x^2+xy+y^2+4x^2-4xy+2y^2\\
=5x^2-3xy+3y^2$

次の問に答えよ

$(7x^3+12x^2-4x-3)(x^5+3x^3+2x^2-5)$の展開式で$x^5$の係数と$x^3$の係数を答えよ。
$x^5$の係数は,$14x^5+36x^5-3x^5=47x^5$で$47$
$x^3$の係数は,$-35x^3-8x^3-9x^3=-52x^3$で$-52$

次の式を因数分解せよ。

$(1)125a^3+64b^3\\
=(5a+4b)(25a^2-20ab+16b^2)$

$(2)27x^4-8xy^3z^3\\
=x(27x^3-8y^3z^3)\\
=x(3x-2yz)(9x^2+6xyz+4y^2z^2)$

$(3)x^3+2x^2-9x-18\\
=x^2(x+2)-9(x+2)\\
=(x^2-9)(x+2)\\
=(x+3)(x-3)(x+2)$

$(4)8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3\\
=\{(2x)^3-(3y)^3\}-18xy(2x-3y)\\
=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)-18xy(2x-3y)\\
=(2x-3y)(4x^2-12xy+9y^2)\\
=(2x-3y)(2x-3y)^2\\
=(2x-3y)^3\\$

$(5)x^3+x^2+3xy-27y^3+9y^2\\
=(x+3y)(x^2+3xy+9y^2)+x^2+3xy+9y^2\\
=(x+3y+1)(x^2+3xy+9y^2)$

次の式を因数分解せよ。

$(1)x^4-7x^2+1\\
=(x^4+2x^2+1)-9x^2\\
=(x^2+1)^2-(3x)^2\\
=(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)$

$(2)a^4-3a^2b^2+b^4\\
=(a^4-2a^2b^2+b^4)-a^2b^2\\
=(a^2-b^2)^2-(ab)^2\\
=(a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2-ab)$

$(3)a^6+26a^3-27\\
a^3=tとおくと、\\
=t^2+26t-27\\
=(t-1)(t+27)\\
=(a^3-1)(a^3+27)\\
=(a-1)(a^2+a+1)(a+3)(a^2-3a+9)$

$(4)a^6-b^6\\
=(a^3)^2-(b^3)^2\\
=(a^3+b^3)(a^3-b^3)\\
=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab-b^2)$

$(5)(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15\\
=(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)+15\\
x^2-8x=tとおくと、\\
=t^2+22t+105+15\\
=t^2+22t+120\\
=(t+10)(t+12)\\
=(x^2-8x+10)(x^2-8x+12)\\
=(x^2-8x+10)(x-6)(x-2)$
※置換えの問題

次の式を因数分解せよ。

$(1)(a+b+c+1)(a+1)+bc\\
=(a+b+1)c+(a+1)(a+b+1)\\
=(a+c+1)(a+b+1)$
※注意問題

$(2)xy+(x+1)(y+1)(xy+1)\\
=(y+1)\{yx^2+(y+1)+1\}+xy\\
=y(y+1)x^2+\{(y+1)^2+y\}x+(y+1)\\
=\{(y+1)x+1\}\{yx+(y+1)\}\\
=(xy+x+1)(xy+y+1)$
※難問

$(3)4(a-b)^2+2b(a-b)-b(b-c)-(b-c)^2\\
=\{2(a-b)+(b-c)\}\{2(a-b)-(b-c)\}\\
+b\{2(a-c)-(b-c)\}\\
=\{2(a-b)+(b-c)+b\}\{2(a-b)-(b-c)\}\\
=(2a-2b+b-c+b)(2a-2b-b+c)\\
=(2a-c)(2a-3b+c)$
※共通因数$2(a-b)-(b-c)$を見つける。
別解として、
展開してから、次数が最低の$b$で括ると
$4a^2-6ab+3bc-c^2\\
=3(-2a+c)b+4a^2-c^2\\
=-3(2a-c)b+(2a+c)(2a-c)\\
=(2a-3b+c)(2a-c)$

次の問に答えよ

等式$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$を利用し、共通因数を見つけて等式
$a^3+b^3+c^3-3abc\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$を導け。また、この結果を用いて、次の因数分解をせよ。
$(1)x^3+y^3+3xy-1$
$(2)a^3-8b^3+6ab+1$

$a^3+b^3+c^3-3abc\\
=(a^3+b^3)+c^3-3abc\\
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\
=\{(a+b)^3+c^3\}-3ab(a+b)-3abc\\
=\{(a+b)+c\}\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}\\
-3ab(a+b+c)\\
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$(1)x^3+y^3+3xy-1\\
=x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)\\
=(x+y-1)\{x^2+y^2+(-1)^2-xy-y(-1)-(-1)x\}\\
=(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)$

$(2)a^3-8b^3+6ab+1\\
=a^3+(-2b)^3+1^3-3a(-2b)×1\\
=(a-2b+1)\{a^2+(-2b)^2+1^2-a(-2b)\\
-(-2b)×1-1×a\}\\
=(a-2b+1)(a^2+4b^2+2ab-a+2b-1)$

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