実数について

実数の分類について

実数の分類について

絶対値について

絶対値について

整数とは

ものの個数を数える数として自然数(正の整数)$1,2,3….$があるが、自然数の世界では、加法と乗法については計算できるが、$3-3,3-5$などの減法の計算ができない。

そこで、$0$や$-1,-2,-3…$が考えられ整数の考えができた。

有理数とは

整数は加法・減法・乗法について計算できるが、除法は必ず計算できるとは限らない。

例えば、$5÷3$は整数では答えられない。除法の計算ができるように、$\frac{5}{3}$などの分数ができた。

この整数と分数をまとめた数を有理数という。

また、整数$m$は$\frac{m}{1}$と分数の形に表すことができるため、有理数は$\frac{m}{n}$($m,n$は整数で、$n≠0$)の形に表すことができる数と定義される。

整数以外の有理数を小数で表した場合。

$\frac{1}{8}=0.125$

$\frac{1}{6}=0.16666…$

$\frac{41}{27}=1.518518518…$

これらのように、必ず有限小数になるか、循環小数となる。

循環小数は、繰り返し部分(循環節という)の最初と最後の数字の上に・をつけて、次のように表す。

$0.16666…=0.1\dot{6}$
$1.518518518…=1.\dot{5}1\dot{8}$

有限小数と循環小数は、必ず分数の形に表すことができる。
循環小数は無限小数となる。

実数と無理数について

整数と、有限小数または無限小数で表される数を合わせて実数という。また、有理数ではない実数もあり、そのような数を無理数という。

円周率 $π=3.141592…$

$\sqrt{2}=1.41421356…$

等がある。無理数は循環しない無限小数で表される数となる。分数で表すことはできない。

実数とその分類まとめ

実数、有理数、無理数定義

数の範囲と四則計算

有理数、実数の範囲では、四則計算ができる。

  • 2つの有理数の和、差、積、商は有理数である。
  • 2つの実数の和、差、積、商は実数である。

実数と数直線

直線上に基準となる点(原点)をとって数$0$とし、その点の左右に一定の間隔で目盛りをつけた直線を数直線という。

このとき、$1$つの実数に対して、数直線上の$1$つの点が対応している。
数直線

$\sqrt{2}$の円と数直線の交わる箇所が、数直線の$\sqrt{2}$となる。
以下は、$\sqrt{3}$を数直線上におとしたもの。

数直線

$\sqrt{\sqrt{2^2}+1^2}=\sqrt{3}$

絶対値の意味と表現について

数直線上で、原点から実数$a$を表す点までの距離を、実数$a$の絶対値という。
これを$|a|$で表す。

例えば、、$|3|=3,|-3|=3$となる。また、$|0|=0$となる。

なお、実数$a$の絶対値$|a|$について、次のことが成り立つ。

$a$が正の数または$0$のとき、$|a|=a、a$が負の数のとき$|a|=-a$

問題

$(1)|5|=5$
$(2)|-2|=2$
$(3)|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1$
$(4)|2-π|=π-2$

$(4)π=3.14…$で$2$より大きいため負の数となる。
負の数の場合は$-a,-(2-π)$となるため$π-2$となる。

問題

$1.\dot{3},\sqrt{144},π,\sqrt{3},-9,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{5}{6}$の中から、次のものを選び出せ。
$(1)自然数 \sqrt{144}=12$
$(2)整数 \sqrt{144}=12,-9$
$(3)有理数 \sqrt{144}=12,-9,1.\dot{3},\frac{5}{6}$
$(4)無理数 π,\sqrt{3},\frac{1}{\sqrt{2}}$

問題

$(1)|x|=6となるxは6と-6$
$(2)|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
$(3)x=1のとき|x-2|+|x+1|=3$
$(4)|a|+|b|=0のとき、a=0,b=0$

問題

循環小数$1.\dot{1}0\dot{1}$を分数で表せ。また、$0.\dot{6}+1.\dot{1}0\dot{1}$を計算し、結果を循環小数で表せ。
$1000x=1101.101101…\\
x=1.101101…\\
999x=1100\\
x=\frac{1100}{999}$

$10x=6.6…\\
x=0.6…\\
9x=6\\
x=\frac{2}{3}$

$\frac{1100}{999}+\frac{666}{999}\\
=\frac{1766}{999}
=1.\dot{7}6\dot{7}$

問題

(1)$121$の平方根は、$11$
(2)$x^2=18$となる$x$は、$3\sqrt{2}$
(3)\sqrt{(3-\sqrt{10})^2}=\sqrt{9-6\sqrt{10}+10}\\
=\sqrt{19-6\sqrt{10}}

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