分数と循環小数の変換方法

分数と循環小数の変換方法

分数と循環小数の変換方法

分数を循環小数で表す方法

割り算を実際に行い、数字の循環部分を見つける。
数字の循環部分の、最初と最後の数字の上に・をつける。その後の数字は書かない。

循環小数を分数で表す方法

例として、循環小数$x=0.\dot{1}$は、小数部分が$1$桁ずつ繰り返しているから$10x$と$x$の差を計算すると、$9x=1$
よって、$x=\frac{1}{9}$と表せる。

$\frac{1}{9}=0.\dot{1}$
$\frac{1}{99}=0.\dot{0}\dot{1}$
$\frac{1}{999}=0.\dot{0}0\dot{1}$

以上を利用して、$1.\dot{5}$を分数に直す方法として、
$1.\dot{5}=1+0.\dot{5}=1+5×\frac{1}{9}$
$0.\dot{6}\dot{3}$のときは、
$0.\dot{6}\dot{3}=63×0.\dot{0}\dot{1}=63×\frac{1}{99}=\frac{7}{11}$

例題

(1)分数$\frac{4}{33}$、$\frac{52}{27}$をそれぞれ小数に直し、循環小数で表せ。
(2)循環小数$1.\dot{5}$、$0.\dot{6}\dot{3}$をそれぞれ分数で表せ。

例題解答

$(1)\frac{4}{33}=0.121212…=0.\dot{1}\dot{2}$
$\frac{52}{27}=1.925925…=1.\dot{9}2\dot{5}$

(2)$x=1.\dot{5}$とおくと、
$10x=15.555…$
$x=1.5555…$
$10x-x=15.555…-1.5555$
$9x=14$
よって$x=\frac{14}{9}$

$y=0.\dot{6}\dot{3}$とおくと、
$100y=63.6363…$
$y=0.6363…$
$100y-y=63.63…-0.63…$
$99y=63$
よって$y=\frac{63}{99}=\frac{7}{11}$
※循環小数が$2$桁のときは、両辺を$100(10^2)$倍する。

問題

(1)分数$\frac{25}{11}、\frac{4}{37}$を循環小数に直せ。
(2)循環小数$0.\dot{2}$、$1.\dot{2}\dot{1}$、$0.1\dot{3}$を分数で表せ。

問題解答

$(1)\frac{25}{11}=2.\dot{2}\dot{7}$
$\frac{4}{37}=0.\dot{1}0\dot{8}$

$(2)10x=2,\dot{2},x=0.\dot{2}\\
10x-x=2\\
x=\frac{2}{9}$
$100x=121.\dot{2}\dot{1},x=1.\dot{2}\dot{1}\\
100x-x=120\\
99x=120\\
33x=40=\frac{40}{33}$
$100x=13.\dot{3},10x=1.\dot{3}\\
100x-10x=12\\
90x=12\\
x=\frac{2}{15}$

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