根号を含む式の計算について

根号を含む式の計算について

根号を含む式の計算について

平方根とは何?

$2$乗すると$a$になる数、つまり、$x^2=a$を満たす$x$を、$a$の平方根という。

正の数$a$の平方根は$2$つあり、絶対値が等しく符号が異なる。ただし、$0$の平方根は$0$だけになる。

正の数aの平方根を、記号$\sqrt{ }$(根号)を使って、正の方を$\sqrt{a}$、負の方を$-\sqrt{a}$と表す。
まとめて$±\sqrt{a}$とも書く。
$(±\sqrt{a})^2=a$となる。

$2$乗して負になる実数は存在しないため、負の数には平方根がない。

根号を含む式の計算

平方根の乗法、除法について
$a,b$が正の数のとき
$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt\frac{a}{b}$

平方根の加法、減法について
$\sqrt{}$を文字とし、同類項をまとめるように計算する。

$a,b$が正の数のとき、$\sqrt{a}\sqrt{b}$は正の数であり
$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab$
これは、$\sqrt{a}\sqrt{b}$が$ab$の正の平方根であることを示している。
したがって、$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

平方根の基本

(1)正の数$a$の平方根は$\sqrt{a}$と$-\sqrt{a}$
また、$\sqrt{}$の中が平方数(2乗の形)になるときは、$\sqrt{}$を外して良い。
(2)$\sqrt{a}$と$-\sqrt{a}$は$2$乗して$a$になる数
$\sqrt{a^2}$で$a<0$のときは、$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}$のように、まず$\sqrt{}$内を計算する。

例題

(1)$7$の平方根$、\frac{9}{16}$の平方根を求めよ。
(2)$(\sqrt{13})^2$、$(-\sqrt{13})^2$、$\sqrt{5^2}$、$\sqrt{(-5)^2}$の値を求めよ。

例題解答

(1)$±\sqrt{7}$$±\sqrt{\frac{3}{4}}$

(2)$(\sqrt{13})^2=13$
$(-\sqrt{13})^2=13$
$\sqrt{5^2}=5$
$\sqrt{(-5)^2}=5$

平方根の基本性質
$a≧0$のとき$(\sqrt{a})^2=(-\sqrt{a})^2=a,\sqrt{a}≧0$
$a≧0$のとき$\sqrt{a^2}=a,a<0$のとき、$\sqrt{a^2}=-a$ $(\sqrt{a})^2と\sqrt{a^2}$はともに根号$\sqrt{}$をはずすことができるが、$\sqrt{a^2}=a$と決めつけてはいけない。 例えば、$a=-5$のとき、$\sqrt{(-5)^2}=-5$とはならない。 $\sqrt{(-5)^2}$は、あくまで正の数であるから、$\sqrt{(-5)^2}=-(-5)$となる。 また、$\sqrt{a^2}=|a|$が成り立つ。

問題

(1)$6,81,\frac{49}{64},0.25$の平方根を求めよ。
(2)$(\sqrt{3})^2,(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2,\sqrt{(-7)^2},-\sqrt{(-9)^2}$の値を求めよ。

問題解答

(1)$6$の平方根は$±\sqrt{6}$
$81$の平方根は$±9$
$\frac{49}{64}$の平方根は$±\frac{7}{8}$
$0.25$の平方根は$±\frac{1}{2}$

$(2)(\sqrt{3})^2=3\\
(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2=\frac{3}{2}\\
\sqrt{(-7)^2}=7\\
-\sqrt{(-9)^2}=-9$

問題

$(1)121$の平方根は、$±11$
$(2)x^2=18$となる$x$は、$±3\sqrt{2}$
$(3)\sqrt{(3-\sqrt{10})^2}=\sqrt{10}-3$
$(4)\sqrt{0.04}=0.2$

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