根号を含む式の計算の基本

根号を含む式の計算の基本

根号を含む式の計算の基本

根号を含む式の計算の基本

$\sqrt{}$の中が同じ数字を、同じ文字として計算する。
$\sqrt{}$の中をできるだけ小さな数とする。
$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}(k>0)$を利用して、平方数を$\sqrt{}$の外に出す。
文字式と同じように計算する。
$(\sqrt{a})^2$を$a$に直す。

例題

次の式を計算せよ。
$(1)6\sqrt{2}-8\sqrt{2}+3\sqrt{2}$
$(2)\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{8}-\sqrt{2}$
$(3)(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$
$(4)(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})$

例題解答

$(1)6\sqrt{2}-8\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\
=\sqrt{2}$

$(2)\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{8}-\sqrt{2}\\
=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}\\
=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$(3)(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2\\
=5+2\sqrt{10}*2\\
=7+2\sqrt{10}$

$(4)(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\
=18-12\\
=6$

問題

$(1)3\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5\sqrt{3}$
$(2)2\sqrt{50}-5\sqrt{18}+3\sqrt{32}$
$(3)\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{50})-\sqrt{3}(1-\sqrt{75})$
$(4)(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$
$(5)(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$
$(6)(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})$
$(7)(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27})$
$(8)(\sqrt{6}+2)(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

問題解答

$(1)3\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5\sqrt{3}\\
=2\sqrt{3}$

$(2)2\sqrt{50}-5\sqrt{18}+3\sqrt{32}\\
=10\sqrt{2}-15\sqrt{2}+12\sqrt{2}\\
=7\sqrt{2}$

$(3)\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{50})-\sqrt{3}(1-\sqrt{75})\\
=\sqrt{6}+10-\sqrt{3}+15\\
=25+\sqrt{6}-\sqrt{3}$

$(4)(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2\\
=3+2\sqrt{15}+5\\
=8+2\sqrt{15}$

$(5)(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^2\\
=18-6\sqrt{6}+3\\
=21-6\sqrt{6}$

$(6)(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})\\
=16-12\\
=4$

$(7)(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27})\\
=(2\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-3\sqrt{3})\\
=10-6\sqrt{15}+\sqrt{15}-9\\
=1-5\sqrt{15}$

$(8)(\sqrt{6}+2)(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\
=\sqrt{18}-\sqrt{12}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\\
=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\\
=\sqrt{2}$

別解
$(8)(\sqrt{6}+2)(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\
=\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\
=\sqrt{2}(3-2)\\
=\sqrt{2}$

問題

次の式を計算せよ。
$(1)\sqrt{90}+\sqrt{45}-\sqrt{40}-\sqrt{20}$
$(2)\sqrt{42}×\sqrt{30}÷\sqrt{140}$
$(3)(2\sqrt{7}-3)^2$
$(4)(3\sqrt{5}+5\sqrt{3})(3\sqrt{5}-5\sqrt{3})$
$(5)(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{50})$
$(6)(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$

問題解答

$(1)\sqrt{90}+\sqrt{45}-\sqrt{40}-\sqrt{20}\\
=3\sqrt{10}+3\sqrt{5}-2\sqrt{10}-2\sqrt{5}\\
=\sqrt{10}+\sqrt{5}$

$(2)\sqrt{42}×\sqrt{30}÷\sqrt{140}\\
=9=3$

$(3)(2\sqrt{7}-3)^2\\
=28-12\sqrt{7}+9\\
=37-12\sqrt{7}$

$(4)(3\sqrt{5}+5\sqrt{3})(3\sqrt{5}-5\sqrt{3})\\
=45-75\\
=-30$

$(5)(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{50})\\
=(3-2\sqrt{2})(3+\sqrt{50})\\
=9+15\sqrt{2}-6\sqrt{2}-20\\
=-11+9\sqrt{2}$

$(6)(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^2\\
1+\sqrt{2}=tとおくと、\\
=t^2-2t\sqrt{3}+3\\
=1+2\sqrt{2}+2-2\sqrt{3}-2\sqrt{6}+3\\
=6+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{6}$

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