根号を含む式の計算での分母の有理化

根号を含む式の計算での分母の有理化

根号を含む式の計算での分母の有理化

根号を含む式の計算での分母の有理化

分母の有理化とは(分母に根号を含まない数に変形すること)
$\sqrt{a}\sqrt{a}=a$
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
を利用して、分母の有利化を行う。
$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$
$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$

例題

次の式の分母を有利化せよ。
$(1)\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$(2)\frac{2}{\sqrt{12}}$
$(3)\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$(4)\frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

例題解答

$(1)\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\
=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$(2)\frac{2}{\sqrt{12}}\\
=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$(3)\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\
=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\\
=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}$

$(4)\frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}\\
=\frac{\sqrt{5}(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}\\
=\frac{5+2\sqrt{5}}{4-5}\sqrt
=-5-2\sqrt{5}$

問題

次の式の分母を有理化せよ。
$(1)\frac{10}{\sqrt{5}}$
$(2)\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}$
$(3)\frac{1}{\sqrt{2}+1}$
$(4)\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

問題解答

$(1)\frac{10}{\sqrt{5}}\\
=\frac{10\sqrt{5}}{5}\\
=2\sqrt{5}$

$(2)\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}\\
=\frac{3}{2\sqrt{2}}\\
=\frac{3\sqrt{2}}{4}$

$(3)\frac{1}{\sqrt{2}+1}\\
=\frac{(\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\
=\sqrt{2}-1$

$(4)\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\
=4+4\sqrt{3}+3\\
=7+4\sqrt{3}$

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