平方根の対象式の値

平方根の対象式の値

平方根の対象式の値

平方根の対象式の値

$2$文字$x,y$の対象式$x+y,xy$で表す。
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\\
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$
式を有理化してから計算したほうが良い。

$x$と$y$を入れ替えても、もとの式と同じになる式を$2$文字$x,y$の対象式という。
$x+y,xy$を基本対象式という。
$x,y$の対象式は、基本対象式$x+y,xy$で表すことができる。

例題

$x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき、次の式の値を求めよ。
$(1)x+y,xy$
$(2)x^2+y^2$
$(3)x^4y^2+x^2y^4$
$(4)x^3+y^3$

例題解答

$(1)x+y,xy\\
x+y=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\\
=\frac{(\sqrt{2}+1)^2+(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\
=\frac{(2+2\sqrt{2}+1)+(2-2\sqrt{2}+1)}{2-1}\\
=6$

$xy=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}×\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\\
=1$

$(2)x^2+y^2\\
=(x+y)^2-2xy\\
=6^2-2×1\\
=34$

$(3)x^4y^2+x^2y^4\\
=x^2y^2(x^2+y^2)\\
=(xy)^2(x^2+y^2)\\
=1^2×34=34$

$(4)x^3+y^3\\
=(x+y)^3-3xy(x+y)\\
=6^3-3×1×6\\
=198$

問題

$x=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}},y=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$のとき、次の式の値を求めよ。
$(1)x+y,xy$
$(2)x^2+y^2$
$(3)x^4y^3+x^3y^4$
$(4)x^3+y^3$

問題解答

$(1)x+y,xy\\
x+y=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\
=\frac{(2+\sqrt{3})^2+(2-\sqrt{3})^2}{1}\\
=\frac{4+2\sqrt{3}+3+4-2\sqrt{3}+3}{1}\\
=14$

$xy=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}×\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\
=1$

$(2)x^2+y^2\\
=(x+y)^2-2xy\\
=14^2-2\\
=194$

$(3)x^4y^3+x^3y^4\\
=(xy)^3(x+y)\\
=1^3×14\\
=14$

$(4)x^3+y^3\\
=(x+y)^3-3xy(x+y)\\
=14^3-3×1(14)\\
=2702$

問題

$x=\frac{1}{\sqrt{2}+1},y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき、次の式の値を求めよ。
$(1)x+y,xy$
$(2)x^2+y^2$
$(3)x-y$
$(4)x^2-y^2$
$(5)x^3+y^3$
$(6)(2x-3)(2y-3)$

問題解答

$(1)x+y,xy$
$x+y=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1\\
=2\sqrt{2}$

$xy=1$

$(2)x^2+y^2\\
=(x+y)^2-2xy\\
=8-2\\
=6$

$(3)x-y\\
=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1\\
=-2$

$(4)x^2-y^2\\
=(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}+1)^2\\
=2-2\sqrt{2}+1-2-2\sqrt{2}-1\\
=-4\sqrt{2}$

$(5)x^3+y^3\\
=(x+y)^3-3xy(x+y)\\
=16\sqrt{2}-6\sqrt{2}\\
=10$

$(6)(2x-3)(2y-3)\\
=4xy-6x-6y+9\\
=4-6×2\sqrt{2}+9\\
=13-12\sqrt{2}$

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